Статистические методы проверки гипотез

Понятие статистической гипотезы.

Cтатистическая гипотеза – это различного рода предположения относительно характеристик, вида или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить по результатам наблюдений в случайной выборке. Обозначается гипотеза Н от латинского слова hypothesis. Типичные примеры статистических гипотез: а) средние значения переменной в двух генеральных совокупностях различаются; б) переменная имеет в генеральной совокупности данное распределение (например, Пуассона).

Гипотеза «на Марсе есть жизнь» не является статистической, т.к. в ней не идет речь ни о виде, ни о параметрах распределения.

Виды гипотез:

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу, обозначают ее Н 0.

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит нулевой, обозначают ее Н 1. Ее принимают, если нулевая гипотеза неверна.

Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание а нормального распределения равно 10 (Н 0: а =10), то конкурирующая гипотеза, в частности, может быть следующей: Н 1: а ¹10.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение. Например, если l - параметр показательного распределения, то гипотеза Н0: l =5 – простая.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез. Например, сложная гипотеза Н: l >5 состоит из бесконечного множества простых гипотез вида Н: l = b_i, где b_i - любое число, большее 5. (Н: l =6, l =7, l =8 и т.д.).

Гипотеза Х ср1= Х ср2 также является сложной: ее можно рассматривать как объединение простых гипотез о распределениях в обеих совокупностях с совпадающими средними значениями. (Хср1=Хср2=10; Хср1=Хср2=25 и т.д.)

Как сама проверяемая гипотеза Н 0, так и конкурирующая ей, могут быть простыми либо сложными, так что в этом отношении можно выделить 4 типа проверки гипотез: «Н 0:простая гипотеза против Н 1:простой», «Н 0:простая против Н 1:сложной», «Н 0:сложная против Н 1:простой», «Н 0:сложная против Н 1:сложной». Наиболее распространенный случай «Н 0:простая против Н 1:сложной».

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку производят статистическими методами, ее называют статистической. В результате проверки гипотеза Н 0 может быть отвергнута или не отвергнута. Отвергают гипотезу категоричнее, чем принимают.

Основное правило статистической проверки гипотезы - критерий проверки гипотезы включает следующие элементы: статистику критерия, уровень значимости, критическую область.

Статистика критерия – это функция S (X) от распределения случайной величины Х в выборке, представляющая собой специально-подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно и которая служит для проверки нулевой гипотезы Н 0.

S (X)= f (X ₁,.., X_n). От выборки к выборке значения S (X) меняются и S (X) сама может быть рассмотрена как случайная величина.

Эта величина в зависимости от вида распределения может иметь специальные обозначения. Так, если она распределена нормально, ее обозначают U или Z, если она распределена по закону Стьюдента - T, если она распределена по закону «хи-квадрат» - c ², если она распределена по закону Фишера-Снедокорра – F.

Наблюдаемым значением статистики критерия S _набл называют значение S (X), вычисленное по имеющейся в нашем распоряжении выборке.

Значение статистики критерия зависит от: 1) данных выборки, т.е. от Х =(Х ₁, Х ₂,…, Х_n); 2) вида гипотезы Н 0, который определяет вид функции f (формулу расчета статистики критерия).

Критической областью m 1 называется – совокупность значений статистики критерия S (X), при которых нулевую гипотезу отклоняют.

Областью принятия гипотезы (допустимых значений) m 0 называется совокупность значений статистики критерия S (X), при которых нулевую гипотезу не отклоняют.

Поскольку статистика критерия — одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Критические точки (границы) S _кр– точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают критическую область одностороннюю (правостороннюю и левостороннюю) и двустороннюю.

Правосторонняя критическая область определяется неравенством: S (X)> S _кр

m 0 m 1

S _кр

Левосторонняя критическая область определяется неравенством: S (X)< S _кр

m 1 m 0

S _кр

Двусторонняя критическая область определяется неравенствами: S (X)> S _кр2 и S (X)< S _кр1

m 1 m 0 m 1

S _кр1 S _кр2

Основное правило статистической проверки гипотезы можно сформулировать так: если наблюдаемое по выборке значение статистики критерия S _набл принадлежит критической области (m 1), то гипотезу Н 0 отвергают; если S _набл принадлежит области принятия гипотезы (m 0), то гипотезу Н 0 не отвергают.

Вид критической области	Условие не отклонения Н 0	Условие отклонения Н 0
Правосторонняя	S набл< S кр	S набл> S кр
Левосторонняя	S набл> S кр	S набл< S кр
Двусторонняя	S кр1< S набл< S кр2	S набл> S кр2 и S набл< S кр1

Следование этому правилу может привести к ошибкам двоякого рода:

а) ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза Н 0, а принята Н 1. Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через a, ее называют уровнем значимости. (a = Р [ S _наблÎ m 1½ Н 0]). Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Например, если при Н 0: новое минеральное удобрение лучше, установлено, что новое минеральное не лучше, хотя на самом деле это не так.

б) ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза, т.е. принята гипотеза Н 0, в то время как она неверна в действительности. Вероятность такой ошибки обозначают - b = Р [ S _наблÎ m 0½ Н 1]. Например, если мы решили, что новое удобрение лучше старого, хотя на самом деле это не так.

Правильное решение может быть принято также в двух случаях:

1) Гипотеза принимается, причем и в действительности она правильная. Вероятность такого события есть доверительная вероятность, которая равна 1- a.

2) Гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна. Вероятность такого события называют мощностью критерия, она равна 1- b.

Чем меньше вероятности ошибок 1-ого и 2-ого родов, тем лучше. Но одновременно уменьшить a и b практически невозможно. Обычно поступают так: задаются уровнем вероятности одной из ошибок (чаще a) и пытаются максимально уменьшить вероятность другой ошибки. Единственный способ одновременного уменьшения a и b состоит в увеличении объема выборки.

Рассмотрим, как определяется критическая область (критические точки), когда Н 0 -простая гипотеза, а Н 1 - сложная.

Задача отыскания S _кр ставится так:

а) при правосторонней критической области: по заданному уровню значимости a найти S _кр, удовлетворяющую равенству: P (S (X)> S _крê H 0)= a;

б) при левосторонней критической области: по заданному уровню значимости a найти S _кр, удовлетворяющую равенству: P (S (X)< S _крê H 0)= a;

в) при двусторонней критической области: по заданному уровню значимости a найти S _кр, удовлетворяющую равенству: P (S (X)< S _кр1 ê H 0)+ P (S (X)> S _кр2ê H 0)= a.

Для каждого вида статистики критерия S (X) имеются свои таблицы, по которым и находят критическую точку S _кр при заданном уровне значимости a.

Пусть S (X) распределена по нормальному закону, тогда выбор S _кр можно представить:

а) для правосторонней критической области рисунком 7.1 (а);

б) для левосторонней критической области рисунком 7.1 (б);

в) для двусторонней критической области рисунком 7.1 (в).

a на рисунке соответствует площади под кривой f (S | H 0).

f (S)

a m 1 S a) f (S | H 0) f (S | H 1)

S _кр

f(S)

m 1 a S _кр S б)

m 1 a /2 a /2 m 1 S в)

- S _кр S _кр

В случае двусторонней критической области критические точки могут быть выбраны бесчисленным множеством способов. Если же распределения статистики критерия симметрично относительно нуля и имеются основания (например, для увеличения мощности критерия или уменьшения b) выбрать симметричные относительно нуля точки - S _кр и S _кр, то:

P (S (X)<- S _кр ê H 0) = P (S (X)> S _крê H 0),

следовательно, P (S (X)> S _крê H 0)= a /2. Это соотношение и служит для отыскания критических точек двусторонней критической области.

Дата добавления: 2015-06-30