Критическая область

ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности, который неизвестен, однако есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (например, нормальный). Тогда выдвигается гипотеза: генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр q равен определенному значению q₀ выдвигают гипотезу: q = q₀.

ОПР. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или о параметрах известных распределений.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то принимается противоречащая ей гипотеза.

ОПР. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₀. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой.

Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что математическое ожидание а нормального распределения равно 10, то конкурирующая гипотеза, в частности, может состоять в предположении, что а ¹10. Коротко это записывают так: Н₀: а =10; Н₁: а ¹10.

Проверку правильности или неправильности выдвинутой гипотезы проводят статистическими методами. В результате такой проверке может быть принято правильное или неправильное решение. Поэтому различают ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Например, если отвергнуто правильное решение: «продолжать строительство жилого дома», то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб; если же принято неправильное решение «продолжать строительство», несмотря на опасность обвала стройки, то эта ошибка второго рода может повлечь гибель людей. Можно привести примеры, когда ошибка первого рода влечет более тяжелые последствия, чем ошибка второго рода.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать через a; ее называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста имеется риск допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Эту величину обозначают через U или Z, если она распределена нормально, F или v ²— по закону Фишера—Снедекора, Т — по закону Стьюдента, c² — по закону «хи квадрат» и т. д. Обозначим эту величину в целях общности через К.

ОПР. Статистическим критерием (или просто критерием ) называют случайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки нулевой гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия. Вычисленное по выборкам значение критерия называют наблюдаемым значением К _набл.

Область возможных значений критерия на две области: в одной находятся те значения, при которых гипотеза принимается, в другой – те, при которых она отвергается.

ОПР. Критической областью называют область значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют область значений критерия, при которых гипотезу принимают. Критическими точками (границами) k _кр называют точки, отделяющие критическую область от области при­нятия гипотезы.

Дата добавления: 2015-06-30