Вопросы для самопроверки. 1. Что называется растяжением, сжатием?

1. Что называется растяжением, сжатием?

2. Какая продольная сила считается положительной, и как она направлена?

3. Каким методом определяется продольная сила? В чем сущность этого метода? Правило знаков.

4. Как и для чего строится эпюра продольных сил?

5. Что называется напряжением? Для чего вводится это понятие?

6. Какие напряжения вы знаете?

7. Что такое допускаемое напряжение?

8. Что учитывает коэффициент запаса?

9. Для чего и как записывается условие прочности? Какие задачи оно позволяет решать?

10. В чем сущность гипотезы плоских сечений? Как онa используется?

11. По какой формуле определяются нормальные напряжения?

12. Как определяется знак нормальных напряжений?

13. Что называется деформацией?

14. Какие виды деформаций вы знаете?

15. Каким законом связаны деформации и напряжения, перемещения и силы?

16. Что такое коэффициент Пуассона?

17. Что характеризует модуль нормальной упругости (модуль упругости 1-го рода)?

18. Что такое жесткость при растяжении-сжатии?

19. Какие механические характеристики материалов вы знаете? Как они определяются и что характеризуют?

20. Какие материалы называются пластичными, хрупкими?

2. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
ПРИ КРУЧЕНИИ

Построение эпюр крутящих моментов. Кручение – простейший вид деформаций, при котором к брусу (валу) прикладываются внешние пары сил в плоскостях, совпадающих с поперечным сечением вала, а в последних возникает только внутренний крутящий момент.

Методика построения эпюры крутящих моментов аналогична вышеприведенной методике при растяжении-сжатии, основанной на методе сечений (раздел 1). При этом участком является расстояние между сечениями, в которых к валу приложены внешние пары сил (их принято называть скручивающими моментами).

Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня O х (рис. 2.1). Нормальные силы, параллельные оси O х, вклада в крутящий момент не вносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил – касательные напряжения и ) М_х связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия (статики) [1 – 7, 9, 11]:

. (2.1)

Рис.2.1. Связь крутящего момента с касательными напряжениями

Условимся считать M_х положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки (рис. 2.2). Это правило проиллюстрировано на рис. 2.1 и в указанном соотношении, где крутящий момент М_х принят положительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Ох.

Рис.2.2. Иллюстрация положительного и отрицательного
крутящего момента

Напряжения при кручении. Расчет на прочность. Рассмотрим кручение призматических стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 2.3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:

· поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);

· расстояния между поперечными сечениями не изменяются, следовательно ;

· контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Ох. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и ;

· материал стержня подчиняется закону Гука.

Учитывая, что , из обобщенного закона Гука [1–7] получаем . Это означает, что в поперечных сечениях стержня возникают лишь касательные напряжения , а согласно закону парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно, напряженное состояние стержня – чистый сдвиг.

б)

а)

Рис.2.3. Иллюстрация кручения:
а) исходное и б) деформированное состояния

Касательные напряжения при кручении определяются в соответствии с законом Гука для чистого сдвига (рис. 2.4):

. (2.2)

Рис.2.4. Расчетная модель определения касательных напряжений

Рис.2.5. Распределение касательных напряжений при кручении

Здесь – погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Для его определения обратимся к условию статики, записав его в более удобной для данного случая форме:

. (2.3)

Подставляем (2.2) в (2.3), учитывая, что

, (2.4)

где J_ρ – полярный момент инерции поперечного сечения [1 – 7].

Получим

. (2.5)

Для круга с диаметром d значение определяется

. (2.6)

Рис.2.6. Распределение напряжений для кольцевого сечения

Подставляя выражение (2.5) в (2.2), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения:

. (2.7)

Как видно из (2.7), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстояниям от оси стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при :

, (2.8)

где W_ρ — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления [1 – 7]:

. (2.9)

Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе в выражении (2.8) для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид:

. (2.10)

где – допускаемое напряжение кручения.

Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 2.6). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d:

, (2.11)

где , а момент сопротивления определяется по формуле:

. (2.12)

Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 2.6) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

Определение деформаций и перемещений. Мерой деформации стержня при кручении является относительный угол закручивания стержня, определяемый по формуле (2.5) и обозначаемый θ. Поскольку величина стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке тем меньше, чем больше , последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.

Пользуясь формулой (2.5) для определения угла закручивания элемента длиной dх, найдем полный угол закручивания стержня длиной l:

. (2.13)

В случае, если по длине стержня М_х и постоянны, получаем:

. (2.14)

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении-сжатии стержня (раздел 1).

ЗАДАЧА 2

Для ступенчатого вала круглого поперечного сечения следует определить из условий прочности и жесткости диаметры всех участков вала, построить эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и абсолютных углов закручивания.

Дано: расчетная схема вала приведена на рис. 2.7, а, где

кН·м, кН·м, кН·м, кН·м
= МПа, МПа, град/м.

Рис. 2.7. Построение эпюр крутящих моментов, касательных
напряжений и абсолютных углов закручивания

Решение

Дата добавления: 2015-06-30