Уравнения с модулями

Алгоритм решения логарифмических неравенств потенцированием

Квадратные

Типы логарифмических уравнений

q Решаемые потенцированием

f (x) = g (x)

log _а f (x) = log_а g (x) g (x) > 0

f (x) > 0

log ₃ (2х - 3) = log ₃ (х+ 3)

2х - 3 = х+ 3

2х - 3 > 0

х+ 3 > 0

2х – х = 3 + 3

х = 6

Проверка: 2· 6 - 3 > 0(и)

6+ 3 > 0(и)

Ответ: 6.

a log_а ² f (x) + b log_а f (x) + c = 0

log ₂ ² x + 2 log ₂ x - 3 = 0

log ₂ x = y

y ² + 2 y - 3 = 0

y₁= - 3, log ₂ x =- 3, x = 2 ^{– 3}= 1/ 8

y₂= 1, log ₂ x = 1, x = 2 ¹= 2.

Ответ: 2 и 1/ 8.

q Решаемые c помощью свойств логарифмов

log ₃ (х - 4) + log ₃ (х+ 4) = 2

log ₃ (х - 4) (х+ 4) = 0

х - 4 > 0

х+ 4 > 0

(х - 4) (х+ 4) = 3²

х ² – 16 = 9

х₁= - 5, х₂= 5

Проверка: - 5 - 4 > 0(л)

- 5 + 4 > 0(л)

5 - 4 > 0 (л)

5+ 4 > 0 (л)

Ответ: 5.

q Решаемые логарифмированием обеих частей уравнения

х^log5x = 625 ОДЗ: х > 0

log₅ x ^log5x = log₅ 625

log₅ x ∙ log₅ x = log₅ 625

log₅² x = 4

log₅ x = 2 log₅ x = - 2

х = 25 є ОДЗ х = 1/25 є ОДЗ

Ответ: 1/25, 25

n Привожу обе части неравенства к логарифму по одному основанию

log_а f (x) > log_а g (x)

n Определяю характер монотонности данной функции по основанию а

n Перехожу к системе

f (x) > g (x) f (x) < g (x)

g (x) > 0 или g (x) > 0

f (x) > 0 при а > 1 f (x) >0 при 0 < а < 1

n Решаю ее

log ₃ (2х - 3) > log ₃ (х+ 3)

2х - 3 > х+ 3

2х - 3 > 0

х+ 3 > 0

2х – х > 3 + 3

2х > 3

х > -3

х > 1, 5

х > -3

х > 6

Ответ: (6; + ∞).

1. Найти нули модулей.

2. Отметить нули на координатной прямой.

3. Решить уравнение на каждом из промежутков с помощью системы.

4. Написать ответ.

|x| = |x-3| + 4 - x

|x| =0, |x -3| = 0

Нули модулей: 0;3

1сл.	2сл.	3сл.
x<0 -x=3-x+4-x   x=7, 7<0 (л)   Решений нет	0≤x≤3 x=-x+3+4-x   x=7/3,0≤7/3≤3 (и)   7/3 - корень	x>3 x=x-3+4-x   x=1,1>3 (л)   Решений нет

Ответ: 7/3.

Дата добавления: 2015-06-27