Методические указания для выполнения контрольной работы по математической статистике

«Анализ ряда распределения результатов наблюдений»

В данной работе рассмотрены вопросы:

-построения интервального вариационного ряда распределения по опытным данным,

-определение статистических характеристик вариационного ряда,

-графическое изображение вариационного ряда,

-оценка степени близости эмпирического распределения нормальному закону распределения (нормальный закон распределения случайной величины наиболее часто встречающийся на практике; нормальному закону подчиняются ошибки измерений, величины износа деталей в механизмах, колебания курса акций и т.д.).

Нормальный закон распределения наиболее часто встречающийся на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и σ², если её плотность вероятности имеет вид

.

• Статистические данные – это сведения о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий исследователя признак (случайная величина Х).

Общее число наблюдений (обозначение n) – объем выборки.

• Варианта (обозначение ) – это различные значения признака случайной величины Х.

• Вариационный ряд – это ряд вариантов, упорядоченных по возрастанию с соответствующими им частотами.

• Частоты (обозначение ) – это числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты в данной совокупности (из данного интервала).

• Интервал – значения варьирующего признака, лежащие в определенных границах (обозначение (а – в). Например, оплата труда рабочих от 10 тыс.руб. до 25 тыс.руб. – это интервал (10 – 25).

• Полигон служит для графического изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков имеют координаты .

• Гистограмма служит только для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными ширине интервала (h), и высотами, равными частотам интервалов ().

Гистограмма обычно служит для изображения выборки в случае непрерывных случайных величин. Площадь гистограммы равна единице. Если в гистограмме соединить середины верхних сторон прямоугольников, то полученная ломаная образует полигон.

• Кумулятивная кривая(кумулята) – кривая накопленных частот (частостей). Для дискретного ряда кумулята представляет собой ломаную, соединяющую точки (x_i; n_i^нак),

где n_i^нак – накопленная частота, показывающая сколько наблюдалось вариантов со значением признака меньшим х.

Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте, равной нулю. Другие точки этой ломаной соответствуют концам интервалов.

• Выборочная средняя (средняя арифметическая)

характеризует значение признака, вокруг которого концентрируются наблюдения.

• Медианой вариационного ряда (обозначение ) называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений. Достоинство медианы как меры центральной тенденции заключается в том, что на неё не влияет изменение крайних членов вариационного ряда.

Для интервального вариационного ряда сначала находят медианный интервал, накопленная частота которого превышает половину всего объёма наблюдений, т.е. .

Для интервального вариационного ряда с равными интервалами медиана вычисляется по формуле .

• Модой вариационного ряда (обозначение ) называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Особенность моды как меры центральной тенденции заключается в том, что она не изменяется при изменении крайних членов ряда, т.е. обладает определенной устойчивостью к вариации признака.

• Дисперсией S² вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариантов от их средней арифметической: .

• В качестве меры вариации (рассеяния) желательно иметь характеристику, выраженную в тех же единицах, что и значения признака.

Такой характеристикой является среднее квадратическое отклонение: S = .

• Коэффициент вариации (безразмерная характеристика) равен процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической: .

Если коэффициент вариации признака, принимающего положительные значения, высок (более 100%), то как правило, это свидетельствует о неоднородности значений признака.

• Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда являются частными случаями более общего понятия – моментов вариационного ряда.

• Начальный момент k – го порядка вариационного ряда определяется по формуле .

Очевидно, что – начальный момент первого порядка, т.е. средняя арифметическая вариационного ряда.

• Центральный момент k – го порядка вариационного ряда определяется по формуле .

С помощью моментов распределения можно описать не только среднюю тенденцию, рассеяние, но и другие особенности вариации признака.

Очевидно, что , .

• Коэффициентом асимметрии вариационного ряда называется число .

Если = 0, то распределение имеет симметричную форму, т.е. варианты, равноудалённые от , имеют одинаковую частоту. При > 0 ( < 0) говорят о положительной (правосторонней) или отрицательной (левосторонней) асимметрии.

• Эксцессом вариационного ряда называется число .

Эксцесс является показателем «крутости» вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением. Если > 0 ( < 0), то полигон вариационного ряда имеет более крутую (пологую) вершину по сравнению с нормальной кривой.

Индивидуальное задание.

По представленным данным результатов наблюдений выполнить следующее:

1) Построить интервальный вариационный ряд распределения по опытным данным.

2) Построить полигон и гистограмму интервального вариационного ряда по составленному распределению выборки.

3) Вычислить статистические выборочные числовые характеристики интервального вариационного ряда:

– выборочное среднее,

S² – выборочную дисперсию,

S – выборочное среднее квадратическое отклонение,

– коэффициент вариации,

– коэффициент асимметрии,

– эксцесс,

– медиану,

– моду.

Указать единицы измерения перечисленных статистических характеристик.

4) По коэффициенту асимметрии и эксцессу сделать вывод о форме графического изображения вариационного ряда распределения.

5) Показать на графике числовые характеристики интервального вариационного ряда: , , .

6) Используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что эмпирическое (опытное) распределение подчиняется нормальному закону, сделать вывод.

ОБРАЗЕЦ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

ПРИМЕР. Производительность труда на одного работающего (тыс. руб.) по 50 предприятиям отрасли за некоторый период составила:

4,20 3,80 3,99 3,82 4,23 4,03 4,06 3,94 4,24 4,16

4,10 3,84 4,18 4,03 4,17 3,91 4,15 3,98 4,12 3,85

4,28 3,93 4,01 3,93 4,15 3,96 3,70 3,89 3,91 4,11

4,01 4,11 3,98 3,79 3,78 3,99 3,98 4,02 3,92 4,09

4,08 4,29 4,01 4,03 4,05 4,03 3,93 3,95 3,95 3,90

I. Построим интервальный ряд распределения.

1) Найдём варианты:

Дата добавления: 2015-07-01