Быстрое преобразование Фурье

Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) - это оптимизированный по скорости способ вычисления ДПФ. Основная идея заключается в двух пунктах.

1. Необходимо разделить сумму ДПФ из N слагаемых на две суммы по N/2 слагаемых, и вычислить их по отдельности. Для вычисления каждой из подсумм, надо их тоже разделить на две и т.д.

2. Необходимо повторно использовать уже вычисленные слагаемые.

Применяют либо "прореживание по времени" (когда в первую сумму попадают слагаемые с четными номерами, а во вторую - с нечетными), либо "прореживание по частоте" (когда в первую сумму попадают первые N/2 слагаемых, а во вторую - остальные). Оба варианта равноценны. В силу специфики алгоритма приходится применять только N, являющиеся степенями 2. Рассмотрим случай прореживания по времени.

Введём определение поворачивающегося множителя:

.

Определим еще две последовательности: {x_[even]} и {x_[odd]} через последовательность {x} следующим образом:

X_[even]n = X_2n,
X_[odd]n = X_2n+1,

n = 0, 1,..., N/2-1.

Пусть к этим последовательностям применены ДПФ и получены результаты в виде двух новых последовательностей {X_[even]} и {X_[odd]} по N/2 элементов в каждой.

Утверждается, что элементы последовательности {X} можно выразить через элементы последовательностей {X_[even]} и {X_[odd]} по формуле:

.

Согласно второй части формулы вышеописанной, получим:

.

ДПФ можно вычислить также по формуле:

.

Также по этой теореме видно, что отпадает необходимость хранить вычисленные X_[even]k и X_[odd]k после использования при вычислении очередной пары и одно вычисление можно использовать для вычисления двух элементов последовательности {X}.

На этом шаге будет выполнено N/2 умножений комплексных чисел. Если мы применим ту же схему для вычисления последовательностей {X_[even]} и {X_[odd]}, то каждая из них потребует N/4 умножений, итого еще N/2. Продолжая далее в том же духе log₂N раз, дойдем до сумм, состоящих всего из одного слагаемого, так что общее количество умножений окажется равно (N/2)log₂N, что явно лучше, чем N² умножений по формуле оригинального ДПФ. Если N четно, то это разделение можно продолжать рекурсивно до тех пор, пока не дойдем до двух точечного преобразования Фурье, которое вычисляется по следующим формулам:

.

Дата добавления: 2015-07-02