Пространственные фильтры повышения резкости

Главная цель повышения резкости заключается в том, чтобы подчеркнуть мелкие детали изображения или улучшить те детали, которые оказались расфокусированы вследствие ошибок или несовершенства самого метода съемки. Повышение резкости изображений используется достаточно широко - от электронной печати и медицинской интроскопии до технического контроля в промышленности и систем автоматического наведения в военной сфере.

Расфокусировка изображения может быть достигнута пространственной операцией усреднения значений точек по окрестности. Поскольку усреднение аналогично интегрированию, то логично придти к выводу, что повышение резкости, будучи явлением, обратным по отношению к расфокусировке, может быть достигнуто пространственным дифференцированием. Это действительно так, и в настоящем разделе будут обсуждаться различные способы задания и использования операторов повышения резкости путем численного дифференцирования. С принципиальной точки зрения, величина отклика оператора производной в точке изображения пропорциональна степени разрывности изображения в данной точке. Таким образом, дифференцирование изображения позволяет усилить перепады и другие разрывы и не подчеркивать области с медленными изменениями уровней яркости.

Прежде, чем перейти к непосредственному обсуждению, необходимо остановиться на некоторых фундаментальных свойствах этих производных в контексте цифровых методов. Для простоты изложения остановимся на одномерных производных. В частности, представляет интерес поведение этих производных на областях постоянной яркости (плоские области), в начале и в конце разрывов (разрывы в виде ступенек и участков изменения яркости - склонов), а также на протяжении самих склонов. Эти типы разрывов могут использоваться для описания шумовых всплесков, линий и контуров на изображении. Также важным является поведение производной на протяжении перехода от начала до окончания указанных особенностей.

Производные дискретной функции определяются в терминах разностей. Эти разности можно задать различными способами, однако мы будем руководствоваться следующим.

Первая производная должна быть:

1. равной нулю на плоских участках (областях с постоянным уровнем яркости);

2. ненулевой в начале и в конце ступеньки или склона яркости;

3. ненулевой на склонах яркости.

Аналогично, вторая производная должна быть:

1. равной нулю на плоских участках;

2. ненулевой в начале и в конце ступеньки или склона яркости;

3. равной нулю на склонах постоянной крутизны.

Так как мы оперируем ограниченными численными значениями, максимальное значение изменения яркости также конечно, а кратчайшее расстояние, на котором это изменение может происходить, есть расстояние между соседними пикселями.

Первая производная одномерной функции f(х) определяется как разность значений соседних элементов:

(7)

Здесь использована запись в виде частной производной для того, чтобы сохранить те же обозначения в случае двух переменных f(x,y), где придется иметь дело с частными производными по двум пространственным осям. Использование частной производной не меняет существа рассмотрения.

Аналогично, вторая производная определяется как разность соседних значений первой производной:

(8)

Легко проверить, что оба данных определения удовлетворяют сформулированным ранее условиям касательно производных первого и второго порядков. Чтобы увидеть это, рассмотрим пример на Рис.4.

На Рис.4 (а) показано простое изображение, содержащее несколько сплошных объектов, линию и отдельную шумовую точку. На Рис.4 (б) представлен горизонтальный профиль яркости (по строке развертки), проходящий через центр изображения и шумовую точку. Этот профиль, являющийся одномерной функцией, будет использоваться для последующих иллюстраций. На Рис.4 (в) показана упрощенная дискретная схема профиля. Она содержит минимальное количество точек, требуемое для анализа поведения первой и второй производных вблизи отдельной точки, линии, склона и контура объекта. На приведенной упрощенной схеме склон занимает четыре пикселя, отдельная точка — один пиксель, толщина линии — три пикселя, а ступенька яркости расположена между соседними пикселями. Число уровней яркости также сокращено до восьми.

Рис. 4 (а) Простое изображение, (б) Одномерный горизонтальный профиль, проходящий через центр изображения и отдельную шумовую точку,

(в) Схематичное дискретное изображение профиля (для простоты точки соединены пунктирными линиями).

Рассмотрим поведение первой и второй производных при движении вдоль профиля слева направо. Для начала отметим, что первая производная не равна нулю на протяжении всего склона, в то время как вторая производная не равна нулю лишь в начале и конце склона. Поскольку границы объектов на изображении соответствуют именно такому типу переходов, можно сделать вывод, что первая производная дает в результате «толстые» контуры, а вторая - значительно более тонкие. Следующей является отдельная точка. На ней (и рядом) отклик второй производной оказывается значительно сильнее отклика первой производной. Это не должно быть неожиданным - в задаче подчеркивания резких переходов вторая производная по сравнению с первой является намного более действенной, а значит, следует ожидать, что усиление мелких деталей (включая шум) при помощи второй производной будет значительно более сильным, чем при помощи первой производной. Тонкая линия (в данной проекции) также представляет собой мелкую деталь, и можно увидеть ту же разницу между двумя производными. Но даже если бы максимальная яркость на линии совпадала с яркостью отдельной точки, отклик второй производной на точке был бы все равно больше. Наконец, на ступеньке отклики обеих производных совпадают (в большинстве случаев, когда ступенька несколько расфокусирована, отклик второй производной будет слабее).

В заключение, сравнивая отклики первой и второй производных, можно отметить следующее:

1. Первая производная обычно дает в результате более толстые контуры.

2. Вторая производная дает больший по величине отклик на мелкие детали - как на отдельных точках, так и на тонких линиях.

3. Отклик на ступеньку у первой производной, как правило, выше, чем у второй.

4. На наклонных контурах вторая производная дает двойной отклик.

Касательно второй производной можно также отметить, что при одинаковых амплитудах изменения сигнала, она дает более сильный отклик на линии, чем на ступеньке, а на отдельной точке - более сильный, чем на линии.

В большинстве приложений методов улучшения изображений вторая производная оказывается более предпочтительной, чем первая, благодаря большему усилению мелких деталей. По этой причине, и чтобы упростить дальнейшее развитие подхода, вначале мы уделим внимание применению второй производной в методах улучшения изображений. Хотя в применении к обработке изображений первая производная используется в основном для выделения контуров, тем не менее она находит применение и в задачах улучшения.

3. Улучшение изображений с использованием вторых производных – лапласиан

Рассмотрим применение двумерной второй производной в задачах улучшения изображений. Подход сводится к выбору дискретной формулировки второй производной и к последующему построению маски фильтра, основанной на данной формулировке. Рассматриваться будут изотропные фильтры, отклик которых не зависит от направления не однородностей на обрабатываемом изображении. Другими словами, изотропные фильтры являются инвариантными к повороту, в том смысле, что поворот изображения и последующее применение фильтра дает тот же результат, что и первоначальное применение фильтра с последующим поворотом результата.

Простейшим изотропным оператором, основанным на производных, является лапласиан (оператор Лапласа), который в случае функции двух переменных f(x,y) определяется как

(9)

Т.к. производные любого порядка являются линейными операторами, то значит и лапласиан является линейным оператором.

Чтобы применить данное уравнение в цифровой обработке изображений, его необходимо выразить в дискретном виде. Принимая во внимание, что теперь имеются две переменные, для частной второй производной по х будет использоваться следующая формула:

(10)

аналогично для производной по у:

(11)

Дискретная формулировка двумерного лапласиана получается объединением этих двух составляющих:

(12)

Это уравнение может быть реализовано с помощью маски, представленной на Рис.5 (а), которая дает изотропный результат для поворотов на углы, кратные 90°.

а б

Рис. 5 (а) Маска фильтра, используемая для реализации дискретного лапласиана, (б) Маска, используемая для расширения этого уравнения путем добавления диагональных членов.

Диагональные направления могут быть включены в формулу дискретного лапласиана добавлением еще двух членов — по одному для каждого из диагональных направлений. Вид каждого из них такой же, как в уравнении (10) или (11), но указываются координаты точек, расположенных по диагоналям. Поскольку каждая диагональная добавка включает член -2f(х, у), то суммарный вычитаемый из суммы член составит -8f(x, у). Маска, соответствующая такому новому определению, представлена на Рис.5 (б). Такая маска является изотропной для поворотов на углы, кратные 45°.

Поскольку оператор Лапласа по сути является второй производной, его применение подчеркивает разрывы уровней яркостей на изображении и подавляет области со слабыми изменениями яркостей. Это приводит к получению изображения, содержащего сероватые линии на месте контуров и других разрывов, наложенные на темный фон без особенностей. Но фон можно «восстановить», сохранив при этом эффект повышения резкости, достигаемый лапласианом. Для этого достаточно сложить исходное изображение и лапласиан, при этом необходимо помнить, какое из определений лапласиана было использовано. Если использовалось определение, использующее отрицательные центральные коэффициенты, тогда для получения эффекта повышения резкости, изображение-лапласиан следует вычитать, а не прибавлять. Таким образом, обобщенный алгоритм использования лапласиана для улучшения изображений сводится к следующему:

(13)

Здесь w(0,0) - значение центрального коэффициента маски лапласиана. Применение этого уравнения иллюстрируется нижеследующим примером.

Пример: Повышение резкости изображения с помощью лапласиана.

На Рис.6 (а) представлено изображение Северного полюса Луны. На Рис.6 (б) показан результат фильтрации данного изображения лапласианом с маской на Рис.5 (б). Поскольку изображение-лапласиан содержит как положительные, так и отрицательные значения, то для градационной коррекции такого сигнала может применяться подход вычитания изображений.

Изображение, представленное на Рис.6 (в), было подвергнуто градационной коррекции. Видно, что основными деталями данного изображения являются контуры и резкие перепады яркости различного уровня. Фон, ранее черный, теперь, вследствие градационной коррекции, стал серым. Такое сероватое проявление фона является типичным для правильно откорректированных изображений-лапласианов. Наконец, на Рис.6 (г) показан результат, полученный с использованием уравнения (13). Детали на этом изображении видны значительно более чистыми и резкими, чем на исходном изображении. Добавление исходного изображения к лапласиану восстановило общий диапазон изменения яркостей на изображении, а лапласиан усилил контрасты в местах яркостных разрывов. Конечным результатом стало изображение, на котором мелкие детали улучшены, а фоновые полутона отлично сохранены. Результаты, подобные данному, позволили методам улучшения, основанным на лапласиане, стать основным инструментом, часто используемым для повышения резкости цифровых изображений.

а б

в г

Рис. 6 Изображение северного полюса Луны.

Дата добавления: 2015-07-02