III. Ряд Фурье в комплексной форме

Для того, чтобы записать ряд Фурье для периодической функции в комплексной форме воспользуемся формулами Эйлера:

Тогда:

=

= =

= .

Пусть = , = , и .

Тогда

= = = =

,

или , но при

Итак, = - комплексная форма записи ряда Фурье, где коэффициент называется комплексной амплитудой и определяется так:

Каждый член ряда называется комплексным гармоническим колебанием с частотой (числа называют еще волновыми числами). Коэффициенты называют комплексной амплитудой. Выражения называют гармониками. Таким образом, разложение периодической функции в ряд Фурье также эквивалентно представлению ее в виде бесконечной суммы комплексных гармонических колебаний (комплексных гармоник).

Выведем формулы для .

При = =

.

При = =

.

При .

Значит, для .

Замечание(*): запись при означает что, например, при

= .

Отметим, что если - действительная функция, то и действительны , а числа при и взаимно сопряжены:

: = ,

: = ,

: и : .

Тогда при , ,

, ,

,

при , ,

, ,

.

Дата добавления: 2015-07-02