IX. Интеграл Фурье для четной и нечетной функций

Пусть - четная функция, тогда

,

,

и .

Тогда за принято обозначать (А) - прямое преобразование и (В) – обратное преобразование.

Эта пара формул называется парой косинус-преобразований Фурье.

Если считать заданной, а - искомой функцией, то равенство (А) является интегральным уравнением для функции . Формула (В) дает решение этого уравнения.

Пусть - нечетная функция, тогда

,

,

и .

Тогда за принято обозначать - прямое преобразование и – обратное преобразование.

Эта пара формул называется парой синус - преобразований Фурье.

Для четной функции имеет место равенство (при продолжается четным образом)

Для нечетной функции имеет место равенство (при продолжается нечетным образом)

Синус- и косинус-преобразования Фурье могут применяться к функциям, заданным на положительной полуоси , если они абсолютно интегрируемы вдоль этой полуоси и удовлетворяют на любом ее конечном отрезке условиям Дирихле. При этом синус-преобразование продолжает функцию на отрицательную полуось нечетным образом, а косинус-преобразование – четным.

Многообразны применения преобразования Фурье в теории вероятностей (теория характеристических функций), при решении краевых задач, а также в электронике и других технических областях.

Дата добавления: 2015-07-02