Свойства Бесконечно малых последовательностей

1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство: пусть и – бесконечно малые последовательности, т.е

для что для и

что для .

Покажем, что последовательность также бесконечно малая последовательность, т.е. для нужно подобрать такое число что для .

Пусть для что для (1)

что для (2). Из свойства модуля действительного числа .

Если , где , то (1) и (2) будут выполняться одновременно. Следовательно, что последовательность – бесконечно малая последовательность.

Следствие. Сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.

2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство: пусть –бесконечно малая а – ограниченная последовательности.

Покажем, что последовательность – бесконечно малая последовательность, т.е. что для что для

Если – ограниченная последовательность, то , что

Так как – бесконечно малая последовательность, то для данного будет существовать что для Для данного оценим ;

, для .

Замечание. Последовательность не может быть произвольной последовательностью (т.е. не является ограниченной последовательностью).

Например:

1) и , тогда не является бесконечно малой последовательностью;

2) и , тогда является бесконечно малой последовательностью;

3) и , тогда не является бесконечно малой последовательностью.

Таким образом, еслипоследовательность – бесконечно малая последовательность а – произвольная последовательность, тогда последовательность не будет определена.

3. Любая бесконечно малая последовательность ограниченная последовательность.

Доказательство: пусть – бесконечно малая последовательность. Докажем, что она ограничена, т.е. покажем, что

, что

Так как – бесконечно малая последовательность, то

для , что для .

Пусть . Тогда будет существовать , что для (т.е. ).

Пусть . Покажем, что ограничена числом . Возьмем ;

а) ;

б) что выполняется неравенство (1) .

Так как любая бесконечно малая последовательность ограничена, то из свойства 2 следует, что произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей – бесконечно малая последовательность.

Определение. Последовательность называется бесконечно большой (б.б.п.), если:

для , что для .

Например: последовательности , , бесконечно большие последовательности.

Если – бесконечно большая последовательность, то она неограниченая последовательность, обратное высказывание не всегда верно (т.е. не всякая неогрниченная последовательность является бесконечно большой).

Например: последовательность неогрниченная, но не является бесконечно большой последовательностью (доказательство привести самостоятельно).

Теорема (связь между бесконечно большой и бесконечно малой последовательностями). Если – бесконечно малая последовательность и, начиная с некоторого номера, ; тогда имеет смысл рассмотреть последовательность , которая будет бесконечно большой последовательностью. И наооборот, если – бесконечно большая последовательность, то обязательно, начиная с некоторого номера и – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: пусть – бесконечно малая последовательность и начиная с некоторого номера, следует что для что для .

Докажем, что – бесконечно большая последовательность.

Возьмем , и обозначим . Так как – бесконечно малая последовательность, то для данного числа будет существовать , что для

Доказательство обратной теоремы: пусть – бесконечно большая последовательность. Покажем, что существует , что . Т.к. – бесконечно большая последовательность, то если , то . Следовательно имеет смысл рассмотреть последовательность . Докажем, что – бесконечно малая последовательность. Для этого возьмем , и пусть .

Так как – бесконечно большая последовательность, то для данного числа будет существовать , что для

Дата добавления: 2015-07-02