Например:

Например:.

Определение. Последовательность , , называют убывающей (невозрастающей), если для любого , верно неравенство .

Если в этих определениях верны соответственно неравенства или , то последовательность называют соответственно строго возрастающей или строго убывающей.

Возрастающую или убывающую последовательность называют монотонной (строго возрастающую или строго убывающую – строго монотонной).

Последовательность, может быть возрастающей начиная с номера , если для любого , , верно неравенство (аналогично, убывающей начиная с номера , если для любого , , верно неравенство ).

Теорема. Монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится; монотонно убывающая ограниченная снизу последовательность сходится.

Доказательство: Пусть последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, т.е. и . Тогда по теореме Дедекинда, существует . Докажем, что Возьмем . Рассмотрим . Так как не верхняя грань, то . Возьмем , тогда , значит мы нашли такое число , что

Число . Рассмотрим последовательность . Существует ли предел данной последовательнсти? Для ответа на этот вопрос воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Итак,

.

Докажем, что монотонно возрастающая последовательность. Для этого рассмотрим

.

Так как .

Второе слагаемое в разложении получается меньше второго слагаемого в разложении , третье слагаемое меньше – третьего, и т.д. Последнее слагаемое в разложении меньше предпоследнего слагаемого в и плюс ко всему в разложении присутствует последнее положительное слагаемое. Можно сказать, что следовательно последовательность –монотонно возрастает. Докажем, что последовательность ограничена сверху:

.

(Здесь мы использовали, неравенство: . Доказать самостоятельно).

Получили, что последовательность монотонно возрастает и ( ограничено сверху числом 3, но это не супремум). Следовательно , где .

Обозначим через , очевидно, что . Докажем, что Для этого рассмотрим

( устремим к , получим) . Число можно записать в следующем виде: ,

, , где .

Дата добавления: 2015-07-02