Достаточные признаки сходимости для знакопостоянных рядов

Не ограничивая общности (см. свойство 1 для сходящихся рядов), будем формулировать признаки для знакопостоянных рядов.

Первый признак сравнения:

Пусть для членов рядов и выполнено условие: (вообще говоря, для всех начиная с какого-то номера, см. следствие из свойства 3 сходимости рядов), тогда:

а) если ряд с большими членами сходится, то и ряд с меньшими членами сходится;

б) если ряд с меньшими членами расходится, то и ряд с большими членами расходится.

Доказательство:

а) Если ряд сходится, то его частичные суммы возрастают и ограничены но частичные суммы ряда возрастают и не превосходят частичных сумм ряда , т.е. тоже ограничены, поэтому ряд сходится.

б) Если расходится, то его возрастающие частичные суммы должны стремиться в тогда и частичные суммы ряда неограниченно возрастают.

Теорема доказана.

Примеры:

1) расходится т.к. , а - гармонический расходящийся ряд;

2) сходится, т.к. а ряд сходится (см. пример 4) в начале лекции).

Второй признак сравнения (предельный)

Даны два ряда: и

Если существует конечный, отличный от нуля предел отношения общих членов этих рядов: то ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся, при этом говорят, что члены у этих рядов одинакового порядка.

Пример:

сходится, т.к. его можно сравнить со сходящимся рядом

Дата добавления: 2015-07-02