КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Признаки сравнения для положительных числовых рядов
Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения. Сначала рассмотрим признак сравнения. На практике он встречается довольно редко, но эта статья была бы неполной без данной информации. Признак сравнения: Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно, что ряд – сходится, и выполнено неравенство (для ), то ряд тоже сходится. Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами. Пример 8 Исследовать ряд на сходимость Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и находим похожий ряд: Из теории известно, что он сходится. Теперь нам нужно показать, что всех значений справедливо неравенство . Если , то Оформить решение можно так: Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму : . И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности! Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: , , и т.д. ! Обратите внимание, что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Если есть минусы, то рассматриваемый признак сравнения может не дать результата. Например, рассмотрим ряд . Попробуйте аналогично сравнить его со сходящимся рядом , выпишите несколько неравенств для первых членов. Вы увидите, что неравенство не выполняется и признак не дает нам ответа. Придется использовать другой признак, чтобы выяснить, сходится этот ряд или нет.
Пример 9 Исследовать ряд на сходимость В примере я предлагаю самостоятельно рассмотреть вторую «зеркальную» часть теоремы: Если известно, что ряд – расходится, и выполнено неравенство (для ), то ряд тоже расходится. Что нужно сделать? Решение и образец оформления в конце урока. Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения, и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера.
Дата добавления: 2015-07-02; Просмотров: 736; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |