Построение конечного поля

Умножение полиномов.

Умножим полином на полином .

раскроем скобки по обычным правилам: , а теперь проведем суммирование по модулю два, то есть те элементы, которые встречаются четное число раз сокращаются:

Вычитание полиномов аналогично сложению, вычитание заменяется суммированием.

Определение: Многочленом над конечным полем называют многочлен, коэффициенты которого лежат в .

Построение порождающего полинома циклического кода напрямую связано с расширением конечного поля, рассмотрим построение расширения поля. Так как в рамках данной работы рассматриваются двоичные циклические коды, то не трудно догадаться, что основное поле Галуа будет состоять из двух элементов – нуля и единицы - GF(2). Построим расширение поля GF(2⁴), это поле пригодно для построения циклического кода длины 15, так как 2⁴-1 = 15. Для построения расширения поля нужно выбрать полином по модулю которого оно будет построено, исходя из того, что m = 4 необходим полином четвертой степени. Из таблицы в книге [1] или таблицы из приложения выберем полином . Примитивный элемент поля – x. Напомним, что расширение поля является мультипликативной группой примитивного элемента , в нашем случае это x, а также умножение будет проводиться по модулю неприводимого полинома . Начнем со степени элемента x равной 0.

Умножим на по модулю полинома : , разделим х на , остаток от деления равен х. Не будем рассматривать формирование элементов соответствующих 1-3 степеням, рассмотрим формирование элементов для степеней 4 и 5:

Рассмотрим вычисление элемента

Рассмотрим вычисление элемента

И так далее, пока не будет получено 2⁴= 16 элементов. Ниже представлено представление поля GF(2⁴), полученного способом, изложенным выше.

Таблица 1. Представление поля GF(2⁴).

Дата добавления: 2015-07-02