Теоретические сведения. Определение усилий в стержнях конструкции с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений

Определение усилий в стержнях конструкции с помощью решения системы линейных алгебраических уравнений.

Лабораторная работа № 2.

Определения центра тяжести плоской фигуры».

Ф.И.О. студента_____________________________

Группа_____________________________________

Дата_______________________________________

Преподаватель______________________________

1). Выполнить чертёж плоской сложной фигуры на рисунке 1

Масштаб ______

Рисунок 1 – Разбивка сложной плоской фигуры на простые.

2) Записать результаты расчётов в таблицу 1.

Таблица 1 – Результаты расчётов

Плоская фигура	Площадь фигуры А, мм^2	Координата центра тяжести фигуры, мм	Статический момент площади фигуры, мм^3
х	у	Sх	Sу
å

3) Записать координаты центров тяжести, определённые опытным путём и расчётом в таблицу 2.

Таблица 2 – Координаты центра тяжести плоской фигуры

В миллиметрах

Центр тяжести	Координаты центра тяжести
х	у
С оп.
С теор.

4) Сделать вывод ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Работу выполнил (студент)

«___»_____________20___

_______________________

(номер по журналу и подпись)

Работу принял преподаватель

«___»________________20___

__________________________

(подпись)

Цель работы: ознакомиться с методами решения систем линейных алгебраических уравнений на примере задачи о расчёте стержневой конструкции (ферма, кран).

Все методы решения систем линейных уравнений можно условно разбить на точные (прямые) и приближённые. К точным алгоритмам относят методы Крамера, Гаусса и т.д. Среди приближённых следует отметить прежде всего итерационные методы.

Гауссовы преобразования. Рассмотрим два любых уравнения системы, выписав коэффициенты при неизвестных и в строках и :

Преобразуем уравнение так, чтобы коэффициент при был равен 1, тогда коэффициенты при остальных переменных в этой строке будут равны: (, путём перестановки уравнений всегда можно добиться этого условия).

Исключим из уравнения , определив коэффициенты как ().

Преобразование матриц по этим формулам называется гауссовым, - разрешающим элементом, строка - разрешающей строкой, столбец -

Сущность метода Гаусса заключается в том, что с помощью гауссовых преобразований исходную матрицу коэффициентов системы приводят либо к треугольному виду, либо к единичному базису (прямой ход метода), а затем находят неизвестные (обратный ход метода).

Решение систем линейных уравнений итерационными методами.

Метод простой итерации. Пусть дана система линейных уравнений . Предполагая, что диагональные коэффициенты , преобразуем систему к виду . Полученную систему будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов . Далее последовательно строим матрицы-столбцы , , …, .

Если последовательность приближений имеет предел , то этот предел является решением системы . Достаточным условием сходимости итерационной последовательности является выполнение одного из условий: , , , т.е. для успешного применения метода итерации модули диагональных коэффициентов системы уравнений должны быть велики по сравнению с модулями других коэффициентов.

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении -го приближения неизвестной учитываются уже вычисленные ранее на этой итерации неизвестные . Обычно метод Зейделя даёт лучшую сходимость, чем метод простой итерации.

Расчёт усилий в стержнях жёсткой фермы.

Для расчета усилий в стержнях фермы применим метод вырезания узлов.

Пример. В мостовой ферме, изображённой на рисунке, на узлы С и D приходится одинаковая вертикальная нагрузка кН; наклонные стержни составляют углы 45 градусов с горизонтом. Определить опорные реакции и усилия в стержнях, вызываемые данной нагрузкой.

Решение. При рассмотрении задач на расчёт стержневых конструкций основное допущение состоит в том, что каждый стержень находится в растянутом состоянии, т.е. его реакция (усилие в стержне) направлена так, что стремится сжать стержень.

В соответствии с методом вырезания узлов, выбираем каждый узел и изображаем силы, действующие в нём. Затем записываем условия равновесия в проекциях на оси координат. Систему координат выберем таким образом, что ось направлена вправо, а ось - вертикально вверх.

А

Получаем:

Узел А: условия равновесия в проекциях на оси ( -реакция подвижной опоры)

Х: (1)

Y: (2)

C

Узел С: условия равновесия в проекциях на оси

Х: (3)

Y: (4)

K

Узел К: условия равновесия в проекциях на оси

Х: (5)

Y: (6)

E

Узел Е: условия равновесия в проекциях на оси

Х: (7)

Y: (8)

D

Узел D: условия равновесия в проекциях на оси ( - компоненты реакции неподвижной опоры D)

Х: (9)

Y: (10)

Полученная система уравнений (1) – (10) является системой линейных уравнений относительно неизвестных .

Эта система уравнений может быть решена различными способами. Мы применим для её решения итерационные методы.

Расширенная матрица этой системы выглядит следующим образом:

	-1
			-1
					-1

Воспользуемся для нахождения решения надстройкой «Поиск решения» в MS Excel.

На рисунке представлена расширенная матрица полученной системы и условия для поиска решения. Результат поиска решения представлен на следующем рисунке:

Таким образом, получены следующие результаты:

Усилия в стержнях: , , , , , , . Знак «минус» говорит о том, что усилие направлено противоположно выбранному нами направлению.

Опорные реакции: , , .

Задание для выполнения работы.

Вариант 1.

В мостовой ферме, изображённой на рисунке, на узлы С и D приходится одинаковая вертикальная нагрузка кН; наклонные стержни составляют углы 45 градусов с горизонтом. Определить опорные реакции и усилия в стержнях, вызываемые данной нагрузкой.

Вариант 2.

В мостовой ферме, изображённой на рисунке, узлы С, D и Е загружены одинаковой вертикальной нагрузкой кН. Наклонные стержни составляют углы 45 градусов с горизонтом. Определить опорные реакции и усилия в стержнях, вызываемые данной нагрузкой.

Вариант 3.

В мостовой ферме, изображённой на рисунке, на узел С действует вертикальная нагрузка кН. На узел Е действует горизонтальная сила кН. Наклонные стержни составляют углы 45 градусов с горизонтом. Определить опорные реакции и усилия в стержнях, вызываемые данными нагрузками.

Вариант 4.

Определить опорные реакции и усилия в стержнях крана, изображённого на рисунке, при нагрузке в 8кН. Весом стержней пренебречь.

Вариант 5.

Определить опорные реакции и усилия в стержнях стропильной фермы, изображённой вместе с приложенными к ней силами на рисунке.

Вариант 6.

Определить опорные реакции и усилия в стержнях мостовой фермы, изображённой вместе с приложенными к ней силами на рисунке.

Вариант 7.

Определить опорные реакции и усилия в стержнях сооружения, изображённого вместе с приложенными к нему силами на рисунке.

Вариант 8.

Определить опорные реакции и усилия в стержнях сооружения, изображённого вместе с действующими на него силами на рисунке.

Вариант 9.

В мостовой ферме, изображённой на рисунке, на узлы С и D действует вертикальная нагрузка кН. На узел B действует вертикальная сила кН. Наклонные стержни составляют углы 45 градусов с горизонтом. Определить опорные реакции и усилия в стержнях, вызываемые данными нагрузками.

Вариант 10.

В мостовой ферме, изображённой на рисунке, на участке BN действует равномерно распределённая нагрузка, величиной . Наклонные стержни составляют углы 45 градусов с горизонтом. Определить опорные реакции и усилия в стержнях, вызываемые данной нагрузкой, если известно, что , а .

Дата добавления: 2015-07-02