Решение системы с помощью обратной матрицы

Теорема. Если матрица обратимая матрица, то обратная к ней матрица вычисляется по следующему правилу:

Таким образом, обратная матрица – это транспонированная матрица алгебраических дополнений, умноженная на коэффициент .

Следует отметить, что обратная матрица существует, тогда и только тогда, когда определитель исходной матрицы отличен от нуля.

Теперь, рассмотрим матричное уравнение . Если у матрицы существует обратная матрица , то умножая матричное уравнение на слева, получим:

.

По определению обратимости матрицы и по свойству единичной , получаем:

.

Пример. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

, .

Вычислим определитель матрицы , разлагая по первой строке:

Значит, обратная матрица существует.

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Тогда решение системы получается умножением обратной матрицы на столбец свободных членов

Литература

1. Владимирский Б.М., Горстко А.Б., Ерусалимский Я.М. Математика. Общий курс. –СПб.:Изд-во «Лань», 2002.- 960 с.
2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/ Под ред. В.И.Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 656 с. – (Высшее образованиие).
3. Ермаков В.И., Рудык Б.М. Алгебра векторов и матриц. – М.: СП «Вся Москва», 1993.
4. Матвеев В.И., Сагитов Р.В., Шершнев В.Г. Курс линейного программирования для экономистов: Учеб. пособие. – М.: Менеджер, 1998.
5. Скорняков Л.А. Элементы линейной алгебры: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1980.

Дата добавления: 2015-07-02