Метод контурных токов

Этот метод относительно сложен, но зато он может быть применен для расчета любой линейной цепи постоянного или переменного токов.

рис.1 - 6

Для расчета по методу контурных токов схема сложной цепи по кратчайшим путям разбивается на отдельные контуры-ячейки(рис. 1-6). Затем в каждом из контуров произвольно выбирается направление контурного тока, т.е. тока, замыкающего только в данном контуре. Токи в ветвях, являющимися общими для двух или более контуров, определяются на основании первого закона Кирхгофа как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов. В схеме (рис.1-6) I_ab = I₁ – I₂; I_bc = I₂ + I₃; I_ca = I₃ + I₁. Благодаря такой подстановке соответственно уменьшается число рассчитываемых токов, а уравнения схемы составляются на основании только второго закона Кирхгофа, причем направление обхода контуров берется совпадающим с направлением контурных токов.

Например, для схемы рис 1-6 три контурные уравнения:

Будем рассматривать алгебраическую сумму э.д.с. в контуре как контурную э.д.с. и соответственно обозначим:

Сумму сопротивлений сторон контура будем называть контурным сопротивлением и обозначим:

Таким образом, три уравнения схемы рис. 1-6 можем записать в следующем виде:

Для единообразия построения уравнений условимся считать отрицательными сопротивления тех смежных ветвей двух контуров, ток в которых противоположен по направлению току рассматриваемого контура. В частности, для схемы рис. 1-6 обозначим:

После такой замены получим:

Если обратиться к общему случаю схемы, состоящей из n ячеек, то ее контурное уравнение в обобщенном виде будет:

Всего для схемы может быть составлено n уравнений. Эта система уравнений может быть решена для контурных токов в общей форме с помощью метода определителей: (5-1)

здесь - определитель системы уравнений, а -алгебраические дополнения определителя, получаемые из посредством вычеркивания в этом определителе k-й строки и n-го столбца и умножения вновь полученного определителя на (-1)^k+n.

В частности для трехконтурной схемы рис.1-6 уравнение контурного тока будет в общем виде:

, здесь определитель третьего порядка

Алгебраические дополнения определителя системы:

и т.д.

Таким образом, при пользовании методом контурных токов нет надобности составлять уравнения законов Кирхгофа, а достаточно рассчитать определители и на основании такого расчета найти контурные токи, применив для этого обобщенное уравнение контурного тока.

Дата добавления: 2015-07-02