Розрахункові завдання 3 страница

Умова міцності для балок з перерізами, симетричними відносно нейтральної осі має вид , де М_{зг max} – максимальне за величиною значення згинаючого моменту в небезпечному перерізі,

W – осьовий момент опору перерізу, [s] – допустиме значення нормальних напружень при згині.

Для підбору перерізу балки (проектного розрахунку) з умови міцності визначають необхідне значення моменту опору .

За знайденим значенням моменту опору W підбирають відповідний номер прокатного профілю по таблицях відповідних ГОСТів, або визначають розміри поперечного перерізу за відомими формулами.

При підбиранні прокатного профілю за таблицями необхідно врахувати, що при підстановці в формулу для визначення W значення М_зг в Нм, а [s] в Па, значення W одержують в м³, а в таблицях значення моменту опору перерізу наведені в см³. У випадку застосування для перерізу здвоєних швелерів необхідно вибрати номер швелера, що має момент опору в два рази менший від необхідного.

Приклад 7 Для заданої двохопорної сталевої балки побудувати епюри поперечних сил і згинаючих моментів, якщо навантаження, що діє на балку рівне F = 10 кН, F₁ = 20 кН, q = 20 кН/м, а = 0,8 м. Перевірити балку на міцність, якщо її переріз – здвоєний швелер № 14, допустимі напруження згину [s] = 150 МПа.

-29-

Розв’язок

На балку з боку опор діють реакції. В шарнірно-нерухомій опорі виникає реакція невідома за напрямом, тому її розкладаємо на дві складові R _By і R _Bz. В шарнірно-рухомій опорі D виникає реакція R _D напрямлена перпендикулярно опорній площині, тобто вертикально.

å Z = R_Bz = 0, отже R_By = R_B – реакція в опорі В напрямлена вертикально.

å М_В = F×a – F₁×a + R_D×3a - qa×3,5a = 0;

;

å M_D = F×a - R_B×3a + F₁×2a - qa×0,5a = 0;

.

Складаємо рівняння перевірки:

å Y = R_B – F₁ +R_D – qa = 14 – 20 + 22 - 20×0,8 = 0.

Отже реакції знайдені вірно.

-30-

Розподіляємо балку на ділянки. Границями ділянок є перерізи в яких прикладені сили і кінці балки. Таких ділянок чотири. Методом перерізів визначаємо поперечні сили на ділянках. Розглядаємо балку зліва.

Q₁ = 0; Q₂ = R_B = 14 кН; Q₃ = R_B – F₁ = 14 – 20 = -6 кН.

Розглядаємо балку справа. Q_4E = 0; Q_4D = qa = 20×0,8 = 16 кН.

Будуємо епюру поперечних сил Q.

Знаходимо згинаючі моменти в характерних перерізах балки.

При розгляді балки зліва

М_зг1 = -Fa = -10×0,8 = - 8 кНм; (М_згА = М_згВ = -8 кНм);

М_згС = -Fa + R_B×a = -10×0,8 + 14×0,8 = 3,2 кНм.

При розгляді балки справа

М_Е = 0; M_D = -qa×0,5a = -q×0,5a² = -20×0,5×0,8² = -6,4 кНм.

Оскільки на ділянці 4 М_зг змінюється нелінійно (по параболі), то для побудови епюри знаходимо проміжне значення М_зг в т.К посередині ділянки М_згК = -qa²/8 = - 20×0,8²/8 = - 1,6 кНм.

Будуємо епюру згинаючих моментів М_зг.

Як видно з епюри ½М_згmax½= 8 кНм.

Перевіряємо балку на міцність за формулою .

По табл. «Сталь прокатна. Швелери ГОСТ 8240 -72» знаходимо для швелера № 14 W_шв = 70,2 см³.

Обчислюємо .

Як бачимо, умова міцності виконується. Балка працює із значним недовантаженням. В даному випадку доцільно застосувати балку з меншим номером профілю. Визначимо його

.

; вибираємо швелер № 10 для якого табличне значення W_шв = 34,8 см³.

Приклад 7а Для заданої консольної балки підібрати номер двотаврового профілю і визначити розміри прямокутного перерізу при відношенні висоти до ширини h/b = 2 та діаметр круглого перерізу, якщо навантаження, що діють на балку М = 9 кНм; Р = 6 кН; q = 6 кН/м, довжини ділянок балки а = 1 м; b = 3 м; с = 2 м. Порівняти витрати матеріалу балки двотаврового, прямокутного та круглого профілів. Для матеріалу балок (сталь Ст.3) з врахуванням підвищених вимог до її жорсткості прийняти [s] = 130 МПа.

-31-

Розв’язок

Для того щоб не визначати реакції в защемленому кінці, розглядаємо балку з вільного кінця.

Знаходимо значення поперечних сил в характерних перерізах балки і будуємо епюру поперечних сил Q.

Q_A = 0; Q_B^зл = 0; Q_B^спр = Р = 6 кН; Q_D = P - q×c = 6 - 6×2 = -6 кН.

Як видно з епюри Q, на ділянці, де прикладене рівномірно розподілене навантаження, епюра перетинає базову лінію. В цьому перерізі Q = 0. Знайдемо кординату перерізу z для якого Q = 0. Для цього складаємо рівняння для поперечних сил на ділянці: Q = P - q× (z – a – b) = 0, звідки

. Отже, в перерізі з координатою z = 5 м, згинаючий момент має екстремальне значення (мінімальне або максимальне).

-32-

Знаходимо значення М_зг в характерних перерізах балки:

М_згА = -М = - 9 кНм; М_згВ = - 9 кНм; М_згС = -М + Р×b = - 9 + 6×3 = 9 кНм;

М_згD = -M + P× (b + c) –qc²/2 = -9 + 6×(3 +2) - 6×2²/2 = 9 кНм.

Знаходимо екстремальне значення М_зг на ділянці з розподіленим навантаженням

.

Будуємо епюру М_зг. Як видно з епюри М_{зг max} = 12 кНм.

З умови міцності на згин визначаємо необхідний момент опору перерізу балки

.

По табл. «Сталь прокатна. Балки двотаврові. Сортамент ГОСТ 8239 – 72» вибираємо двотавровий переріз № 16 для якого W_x = 109 см³.

Для прямокутного перерізу , при відношенні h/b =2 h = 2b і

, звідки ,

приймаємо b = 52 мм, тоді h = 2×52 = 104 мм.

З формули визначаємо необхідний діаметр круглого перерізу

.

Порівняти витрати матеріалу для різних профілів можна знайшовши відношення мас балок цих профілів однакової довжини, яке пропорційне відношенню площ їх поперечних перерізів: m_дв: m_пр: m_к = А_дв: А_пр: А_к.

Для двотавра № 16 по таблиці знаходимо А_дв = 20,2 см²;

для прямокутного перерізу А_пр = bh = 5,2×10,4 = 54,08 см²;

для круглого А_к = pd²/4 = 3,14×9,8²/4 = 75,43 см².

Відношення А_дв: А_пр: А_к = 20,2: 54,08: 75.43» 1: 2,7: 3,7. Отже, при застосуванні прямокутного профілю витрачається в 2,7 рази більше, а при використанні круглого профілю в 3,7 рази більше матеріалу, ніж при застосуванні двотаврового профілю, для балки такої ж міцності.

-33-

Задача 8

До розв’язку задачі слід приступити після вивчення розділу деталей машин «Передачі обертового руху», тем «Вали та осі», «Підшипники», «Шпонкові з’єднання», опрацювання даних методичних вказівок і розгляду прикладів 8 та 8а.

В задачі необхідно підібрати електродвигун, визначити кінематичні (кутову швидкість w, частоту обертання n) і силові (потужність Р, обертовий момент Т) параметри для всіх валів багатоступеневої передачі приводу, геометричні параметри однієї із закритих передач – зубчастої або черв’ячної, провести проектний розрахунок та підібрати підшипники для веденого вала редуктора залежно від характеру навантаження і діаметру ділянок під підшипники, дібрати шпонки під зубчасте або черв’ячне колесо і на вихідний кінець, та провести перевірку їх міцності з умови зминання.

Перед розв’язком задачі необхідно ознайомитись з ГОСТ 2.770-68 і ГОСТ 2.721-74 на умовні позначення елементів і правила виконання кінематичних схем. Вали і елементи передач нумеруються в напрямі передачі руху – від вхідного вала (вала двигуна) до вихідного (робочого) вала.

Основними характеристиками передач є: передаточне число u, передавана потужність Р і ККД h. Передаточне число для понижуючої передачі співпадає з передаточним відношенням і визначається відношенням кутової швидкості ведучої ланки до кутової швидкості веденої ланки

u = w₁/w₂ = n₁/n₂.

Передаточне число можна визначити через геометричні параметри передачі:

U = d₂/d₁, де d₁ і d₂ – розрахункові діаметри відповідно ведучої і веденої ланок (для зубчастих, черв’ячних і ланцюгових передач це ділильні діаметри). Для передач зачепленням передаточне число також визначають за відношенням кількості зубців веденої ланки до кількості зубців ведучої ланки: u = z₂/z₁.

Середні рекомендовані значення u для зубчастих передач рівні 2…6, для черв’ячних 8…80, ланцюгових 3…6, пасових 2…4.

Передаточне число багатоступеневої передачі, що складається з кількох послідовно з’єднаних передач рівне добутку їх передаточних чисел

U = u₁×u₂ …u_n.

Відношення потужності Р₂ на веденому валу передачі до потужності на ведучому валу називається механічним коефіцієнтом корисної дії (ККД)

h= Р₂/P₁.

Для багатоступеневої передачі (при послідовному з’єднанні ступеней)

h = h₁h₂…h_n, де h_1,h₂ …h_n – ККД кожної кінематичної пари (зубчастої, черв’ячної, пасової та ін. передач, підшипників, муфт). Нижче наведені значення ККД деяких передач (табл..1).

-34-

Таблиця 1. Значення ККД механічних передач

Тип передачі	Закрита	Відкрита
Зубчаста циліндрична Зубчаста конічна Черв’ячна при числі заходів черв’яка Z1 = 1 Z1 = 2 (стандартом не передбачено) Z1 = 3 Z1 = 4 Ланцюгова Пасова плоским пасом клиновим (полі клиновим) пасом	0,96…0,97 0,95…0,97   0,7…0,75 0,75…0,8 0,8…0,85 0,85…0,9	0,93…0,95 0,92…0,94   0,9…0,93   0,96…0,98 0,95…0,97
Примітка: втрати на тертя в опорах кожного вала враховуються коефіцієнтом h0 = 0,99…0,995; втрати в муфті враховуються коефіцієнтом hм = 0,98…0,99.

В завданні за необхідною потужністю вихідного вала приводу Р_вих і його частотою обертання n, визначивши загальний ККД, потрібно знайти необхідну потужність двигуна Р_дв і по табл. П 61 [2] підібрати електродвигун так, щоб передаточне число передачі, кінематичні параметри якої не задані, знаходились в рекомендованих межах (див. приклади розрахунку).

З теоретичної механіки відомо, що потужність з обертовим моментом зв’язані залежністю Р = Т×w. Звідси Т = Р/w.

Користуючись останньою формулою, знаходять обертові моменти на валах приводу.

Геометричний розрахунок зубчастої або черв’ячної передачі (визначення основних геометричних розмірів) базується на заданому значенні міжосьової відстані а_W.

Геометричний розрахунок зубчастих передач.

Вихідні дані: передаточне число u, міжосьова відстань а_W, коефіцієнт ширини вінця колеса y_ba.

1. Вибирають модуль за рекомендацією m = (0,01…0,02)a_W, приймаючи стандартне значення з ряду чисел

m, мм	I-й ряд	1; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 16; 20
ІІ-й ряд	1,125; 1,375; 1,75; 2,25; 2,75; 3,5; 4,5; 5,5; 7; 9; 11; 14; 18; 22

-35-

При виборі модуля слід віддавати перевагу І-му ряду.

2. Визначають сумарну кількість зубців шестірні і колеса з формули

, де b - кут нахилу зуба.

Для косозубих передач b =8…20⁰, для шевронних b = 25…40⁰, для прямозубих b = 0, і cos b = 1. Тому для прямозубих передач

, де z_å = z₁ + z₂.

Одержане значення z_å заокруглюють до найближчого цілого числа.

3. З формули z_å = z₁ + z₂ =z₁ +uz₁ = z₁ (u+1) визначають кількість зубців шестірні , де z₁ – ціле число (z₁ ³ 17).

З формули z₂ = uz₁ визначають кількість зубців колеса z₂, одержане значення заокруглюють до цілого числа.

Уточнюють значення передаточного числа u. Розходження між уточненим (фактичним) і визначеним раніше номінальним значенням u не повинно перевищувати 2,5 % при u £ 4,5 і 4 % при u > 4,5.

Для косозубих і шевронних передач після заокруглення z₁ і z₂ до цілих чисел, для збереження заданої міжосьової відстані, може виникнути необхідність уточнення кута нахилу зубців. Для прямозубих передач цього досягають зміною кількості z_å на 1 – 2 зубці.

1. Визначають основні параметри зачеплення:

Нормальний крок p_n = pm, торцевий крок p_t = pm_t, де торцевий (коловий) модуль m_t = m /cos b; для прямозубих коліс m_t = m і p_t = p_n;

висоту головки зуба h_a = m, висоту ніжки зуба h_f = 1,25m.

5. Визначають основні геометричні розміри коліс:

ділильні діаметри d₁ = mz₁ /cos b і d₂ = mz₂ /cos b;

діаметри вершин зубців d_a1 = d₁ + 2h_a і d_a2 = d₂+ 2h_a;

діаметр впадин d _f1 = d₁ -2h_f і d _f2 = d₂ – 2h_f.

Уточнюють значення міжосьової відстані a_W = (d₁ + d₂)/2.

З формули y_ba = b/a_W знаходять ширину зубчастого вінця колеса

b₂ = b = y_ba a_W і шестірні b₁ = 3…5 мм.

В пунктах 4 і 5 обчислення слід вести до другого знаку після коми, за винятком розміру b, який заокруглюють до найближчого цілого числа.

Геометричний розрахунок черв’ячних передач

Вихідні дані: передаточне число u, міжосьова відстань a_W.

1. За попередньо знайденим u визначають кількість витків (заходів різьби) черв’яка z₁ табл.2.

-36-

Таблиця 2

u	7…13	14…27	28…35	³ 36
z1		(3)

2. З формули u = z₂/z₁ визначають кількість зубців черв’ячного колеса

(z₂ ³ 28).

3. З умови жорсткості визначають коефіцієнт діаметра черв’яка

q = (0,212…0,25) z₂.

Одержане значення q заокруглюють до стандартного ряду чисел:

q	І-й ряд	6,3; 8; 10; 12,5; 16
ІІ-й ряд	7,1; 9; 11,2; 14; 18

При виборі q І-му ряду слід віддавати перевагу.

4. З формули a = m (q + z)/2 визначають модуль зачеплення. Для модуля приймають стандартне значення з ряду

m, мм	І-й ряд	1; 1,25; 1,6; 2; 2,5; 3,15; 4; 5; 6,3; 8; 10; 12,5; 16; 20
ІІ-й ряд	1,5; 3; 3,5; 6; 7; 12

Першому ряду слід віддавати перевагу.

5. Визначають основні геометричні параметри зачеплення: осьовий крок черв’яка і коловий крок колеса p = πm, висоту головки витка черв’яка і зубця колеса h_а = m; висоту ніжки витка черв’яка і зуба колеса h_f = 1,2m.

6. Визначають основні геометричні розміри черв’яка:

ділильний діаметр d₁ = mq, діаметр вершин витків d_a1 = d + 2h_a; діаметр западин d _f1 = d₁ – 2h_f; ділильний кут підйому лінії витка tg γ = z/q, довжину нарізаної частини черв’яка b₁ ≥ (C₁ + C₂z₂)m, де С₁ = 11, С₂ = 0,06 при z₁ = = 1, 2; C₁ = 12,5, C₂ = 0,09 при z₁ = 4.

7. Визначають основні геометричні розміри черв’ячного колеса:

ділильний діаметр d₂ = mz₂; діаметр вершин зубців d_a2 = d₂ + 2h_a;

діаметр западин d_f2 = d₂ – 2h_f; найбільший діаметр колеса d_aM2 ≤ d_a2 + 6m/(z₁+2); ширину зубчастого вінця b₂ ≤ 0,75d_a1 при z₁ ≤ 3 і b₂ ≤ 0,67d_a1

при z₁ = 4; кут обхвату черв’яка вінцем колеса: sin δ = b₂ / (d_a1 – 0,5m).

8. Уточнюємо міжосьову відстань a_W = (d₁ + d₂) / 2.

В пунктах 5 – 7 обчислення слід вести з точністю до 0,01 мм за винятком розмірів b₁, b₂ і d_aм2, які заокруглюють до цілого числа.
-37-

Проектний розрахунок валів проводять з умови міцності на кручення

, без врахування впливу згину за пониженими допустимими напруженнями – [τ] = 10…20 МПа.

Для валів суцільного круглого перерізу , звідки необхідний діаметр вала .

Для редукторних валів для яких крутний момент в перерізах вала рівний зовнішньому обертовому моменту М_К = Т за цією формулою визначають діаметр вихідного кінця ведучого або веденого вала.

Діаметри решти ділянок вала приймають конструктивно. Діаметри ділянок вала під підшипники повинні бути кратні числу «5», діаметри інших ділянок відповідати стандартному ряду чисел:

10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 28; 30; 32; 34;

36; 38; 40; 42; 45; 48; 50; 53; 56; 60; 63; 67; 71; 75; 80; 85; 90; 100; 105;

110; 120; 125; 130 і т. д. через 10 мм.

Підбір підшипників

Типорозмір підшипників підбирають за діаметром ділянок вала під підшипниками і характером навантаження на вал. При дії радіальних навантажень і порівняно невеликих осьових навантажень (до 25 % від радіальних) доцільно підбирати найпоширеніші і найдешевші кулькові радіальні підшипники легкої або середньої серії ([2], табл. П 40).

У випадку дії значних осьових зусиль поряд з радіальними, що має місце для валів конічних і черв’ячних редукторів, необхідно підбирати кулькові радіально-упорні ([2], табл. П 42) або роликові конічні ([2], табл. П 43). При цьому при високих частотах обертання валів віддають перевагу кульковим, при середніх і низьких – роликовим як більш дешевим і зручнішим для монтажу.

Вибір шпонок і перевірка міцності шпонкових з’єднань

Розміри перерізу шпонок для вихідного кінця вала та в місці посадки колеса вибираються в залежності від діаметра вала ([2], табл. П 49). Довжина шпонки приймається на 5…10 мм меншою довжини маточини встановленого колеса (довжини ділянки вала). Довжина ділянки вала визначається залежно від діаметра ℓ = (1,2…1,5) d.

Після цього проводиться перевірка шпонкового з’єднання на міцність за напруженнями зминання.

Для призматичних шпонок умова міцності має вид

-38-

, де σ_зм – робоче напруження зминання, [σ_зм] – допустиме напруження зминання матеріалу маточини, [σ_зм] ≤ 100 МПа при сталевих маточинах,, [σ_зм] ≤ 70 Мпа при чавунних; Т – крутний момент, що передається шпонковим з’єднанням; b і h - відповідно ширина і висота шпонки; t₁ – глибина паза у валі; ℓ_р = ℓ - b – робоча довжина шпонки із округленими торцями, ℓ - її повна довжина. Якщо міцність з’єднання не забезпечується, то збільшують довжину шпонки і відповідно ділянки вала (маточини насаджуваного колеса) або передбачають дві шпонки.

Приклад 8 Для приводу, що складається з пасової передачі, двоступеневого зубчастого редуктора і ланцюгової передачі (див. схему) з частотою і потужністю вихідного вала відповідно n_вих = 30 об/в.. І

Р_вих = 12 кВт необхідно вибрати електродвигун, визначити частоти, кутові швидкості та обертові моменти на валах.

Для передачі, кінематичні параметри якої не вказані, виконати геометричний розрахунок. При цьому прийняти відомою міжосьову відстань а_W = 180 мм, відносну ширину колеса ψ_ba = 0,4.

З умови міцності на кручення визначити діаметр вихідного кінця веденого вала редуктора. З конструктивних міркувань визначити діаметри решти ділянок вала. Враховуючи характер навантаження підібрати підшипники легкої або середньої серії.

Для вихідного кінця веденого вала підібрати призматичну шпонку та перевірити її на зминання.

-39-

Розв’язок

1. Кінематичний і силовий розрахунок приводу

Відповідно до рекомендацій (табл. 1) приймаємо значення ККД:

для пасової передачі η_п = 0,97;

для зубчастої передачі η_з = 0,97;

для ланцюгової передачі η_л = 0,92;

ККД що враховує втрати в підшипниках η₀ =0,99.

Загальний ККД приводу η = η_п η_з² η_л η₀⁴ = 0,97·0,97²·0,92·0,99⁴ = 0,81.

З формули η = Р_вих/Р_дв визначаємо необхідну потужність електродвигуна

Р_дв =Р_вих / η = 12 / 0,81 = 14,81 кВт.

Загальне передаточне число приводу u = u_п u_кз u_пз u_л, де

u_п = D₂/D₁ = 160/80 = 2 – передаточне число пасової передачі;

u_кз – передаточне число косозубої передачі, рекомендовані значення u = 2…6;

u_пз = z₄/z₃ = 60/20 = 3 – передаточне число прямозубої передачі;

u_л = z₆/z₅ = 45/18 = 2,5 – передаточне число ланцюгової передачі;

тоді межі загального передаточного числа приводу

u = 2 · (2…6) · 3 · 2,5 = 30…90.

Діапазон можливих частот обертання двигуна

n_дв = n_вих · u = 30·(30…90) = 900…2700 об/хв.

Вибираємо електродвигун трифазний асинхронний 4А160S4УЗ з номінальною потужністю Р_ном =15,0 кВт, асинхронною частотою обертання ротора n_дв = 1465 об/хв.

Загальне передаточне число приводу u = n_дв / n_вих = 1465/30 = 48,83.

Необхідне передаточне число косозубої передачі

.

Визначаємо кутові швидкості і частоти обертання валів:

вала двигуна n_дв = 1465 об/хв.; рад/с;

ведучого вала редуктора

; ;

проміжного вала редуктора

; ;

веденого вала редуктора

; ;

вихідного (робочого) вала приводу

; .

Визначаємо потужності на валах:

-40-

Р_дв = 14,81 кВт; Р₁ = Р_двη_пη₀ = 14,81·0,97·0,99 = 14,22 кВт;

Р₂ = Р₁η_кз η₀ = 14,22·0,97·0,99 = 13,66 кВт;

Р₃ = Р₂η_пз η₀ = 13,66·0,97·0,99 = 13,12 кВт;

Р_вих = Р₄ = 13,12·0,92·0.99 = 11,95 ≈ 12,0 кВт.

Обертові моменти на валах визначаємо за формулою Т ∕ω;

; ;

; ;

.

2. Геометричний розрахунок косозубої передачі

Вихідні дані: а_W = 180 мм; u = u_кз = 3,26.

Визначаємо модуль зачеплення: m = (0,01…0,02) a_W = (0,01…0,02)·180 =

= 1,8…3,6 мм. Приймаємо стандартне значення m = 3 мм.

З формули визначаємо сумарну кількість зубців шестірні і колеса: , де β – кут нахилу зубців;

Приймаємо β = 15⁰, cos 15⁰ = 0,966; .

Дата добавления: 2015-07-02