Нормальный закон распределения

Случайная величина и законы ее распределения

Если под событием понимать появление какого-либо числа, это число будет случайной величиной.

Случайная величина (стохастическая переменная) – величина, наблюдаемое значение которой зависит от случайных причин.

Случайная величина является количественной характеристикой результата опыта и может принимать различные числовые значения, заранее неизвестные и зависящие от случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. Случайная величина характеризуется вероятностью, с которой она может приобрести то или иное значение из генеральной совокупности в области допустимых значений.

Генеральная совокупность – полный набор всех возможных значений случайной величины А. Она может быть или непрерывной средой, или набором дискретных значений. В статистике под генеральной совокупностью понимают все множество исследуемых объектов. Совокупность однородна, если хотя бы один ее существенный признак является общим для всех объектов совокупности.

Признак – качественная особенность объекта, принадлежащего данной совокупности. Признаки могут быть количественными и атрибутивными (качественными).

В зависимости от характера случайной величины законы ее распределения могут быть самыми различными. Если на исследуемую величину одновременно действует много независимых случайных факторов, она подчиняется нормальному закону распределения (закону Гаусса). Этот закон имеет фундаментальное значение.

Функция нормального распределения имеет вид:

где а и – математическое ожидание и дисперсия случайной величины соответственно.

Графики функций нормального распределения для различных значений а и показаны на рисунке 4.6.

Рис. 4.6. Графики функций нормального распределения

для различных значений а и :

1, 2, 3 – а₁ = а₂ = а₃ = а;

2, 4, 5, 6 – а₂ < а₄ < а₅ < а₆;

Нормальная плотность вероятности определяется выражением:

На рисунке 4.7 приведены графики нормальной плотности вероятностей для различных значений а и .

Рис. 4.7. Графики функций нормального распределения

для различных значений а и :

1, 2, 3 – а ₁ = а ₂ = а ₃ = а;

2, 4, 5 – а ₂ < а ₄ < а ₅;

Построение гистограммы

Гистограмма строится по методике, приведенной ниже.

1) Формируют выборку, т.е. собирают исходные данные за определенный период времени. Количество значений признака не менее 30, оптимальное количество 100.

2) Определяют выборочный размах:

R = Х_max - X_min (разница между наибольшим и наименьшим наблюдаемыми значениями).

3) Делят размах на интервалы равной ширины.

Ширину интервалов находя как h = R/k. Количество интервалов k зависит от объема выборки n:

Объем выборки n	20–50	51–100	101–200	201–500	500–1000	Более 1000
Число интервалов k						11–20

Для определения количества интервалов при n >300…500 можно использовать формулу Стержерса: k = 1+ 3,322 ∙ln N, где N – генеральная совокупность.

4) Определяют границы интервалов:

- определяют левую границу первого интервала (< X _min );

- прибавляют к ней ширину интервала, чтобы получить его правую границу;

- к правой границе последовательно прибавляют ширину интервала для получения второй, третьей и т.д. правых границ;

- проверяют, что Х _max входит в последний интервал.

5) Вычисляют середины интервалов как полусуммы их левых и правых границ.

6) Определяют частоты попадания значений в каждый интервал. Значения, совпадающие с правой границей, относят к левому интервалу. Готовят таблицу частот, куда заносят интервалы, их средние значения, частоты попадания в интервал.

7) Строят столбчатый график гистограммы, где по оси абсцисс откладывают значения исследуемого показателя, а на оси ординат – частоты попадания измеренных значений в интервал.

Анализ гистограмм

Анализ гистограмм позволяет сделать заключение о состоянии процесса, однако если неясны условия контроля процесса иди временные изменения, необходимо в комбинации с гистограммой использовать также контрольные карты и график, представляемый ломаной линией.

Поскольку гистограмма выражает условия процесса за период, в течение которого были получены данные, важную информацию может дать форма гистограммы в сравнении с контрольными нормативами.

Различают следующие модификации формы гистограмм (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Типы диаграмм:

а – двухпиковая; б – симметричная; в – гребенка; г – вытянутая вправо;

д – плато; е – изолированный пик; ж – обрыв слева; з – краевой пик

- двугорбая (бимодальная) (рис. 4.8а). Содержит два возвышения с провалом между ними и отражает случаи объединения результатов двух распределений с разными средними значениями, например, в случае наличия разницы между двумя видами материалов, между двумя операторами и т.д. В этом случае можно провести расслоение, исследовать причины различия и принять соответствующие меры для его устранения;

- симметричная (нормальное распределение) (рис. 4.8б). Встречается чаще всего, указывает на стабильность процесса;

- гребенка (мультимодальная) (рис. 4.8в). Число единичных наблюдений, попадающих в один интервал, колеблется, если действует определенное правило округления данных;

- вытянутая вправо (влево) (рис. 4.8г). Такую форму с плавно вытянутым в одну сторону основанием гистограмма принимает в случае, когда невозможно получить значения ниже (выше) определенного;

- плато (не имеющая высокой центральной части) (рис. 4.8д). Объединены несколько распределений, в которых средние значения имеют небольшую разницу между собой. Анализ такой гистограммы целесообразно проводить, используя метод расслоения;

- изолированный пик (рис. 4.8е). Допущена ошибка при измерениях, когда наблюдались отклонения от нормы в ходе процесса. По результатам анализа гистограмм делают заключение о необходимости настройки измерительного прибора или срочного осуществления контроля параметров процесса и принятия соответствующих мер;

- обрыв слева (справа) (рис. 4.8ж). Отобраны и исключены из партии все изделия с параметрами ниже (выше);

- краевой пик (рис. 4.8з). Допущено несколько грубых ошибок или в выборку попали результаты, не принадлежащие данной генеральной совокупности.

ГЛАВА 5

Дата добавления: 2015-07-02