Лабораторная работа. Дальше строю схемы для расчета устойчивости откоса пойменной насыпи

Дальше строю схемы для расчета устойчивости откоса пойменной насыпи.

Проектирование пойменной насыпи

Проектирование пойменной насыпи осуществляется путем подбора, т.е. сначала вычерчивается поперечный профиль, а затем проверяется его устойчивость.

Поперечный профиль насыпи проектируют с учетом строительно-технических норм МПС СТН-Ц-01-95 “Железнодорожные колеи 1520мм”.

В пойменной насыпи со стороны подтопления обязательно устраивается берма, ширина бермы от 3 до 12 м, крутизна откосов 1:2. Отметка бермы считается по формуле:

отметка бермы = ГВВ+h_в.+а,

где ГВВ=193,8– горизонт высоких вод;

h_в=1,01– высота набега волны;

а=0,25– технический запас.

отметка бермы=193,8+1,01+0,25=195,06 м.

При расчете устойчивости насыпи временную поездную нагрузку и вес верхнего строения пути заменяют условным столбиком шириной

2,75 м, высота столбика определяется по формуле:

Где Р₀=1,41 т/м² – указанная суммарная нагрузка на основной площадке земляного полотна,

т/м³– объемный вес грунта насыпи при естественной влажности

Определение моментов инерции твердых тел с помощью трифилярного подвеса

Принадлежности: трифилярный подвес; секундомер; линейка; штангенциркуль; набор тел, подлежащих измерению.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси имеет вид

,

где М – сумма проекций на ось всех моментов сил, действующих на тело, J – момент инерции тела, ω – его угловая скорость.

Это уравнение напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки: роль силы играет ее момент, роль скорости – угловая скорость, роль массы – момент инерции.

Момент инерции характеризует инерционные свойства твердого тела при вращательном движении. Чем больше момент инерции, тем труднее изменить скорость вращения тела.

Момент инерции материальной точки

,

где m – масса точки, r – расстояние до оси вращения.

Если тело состоит из нескольких материальных точек, то его момент инерции равен сумме моментов инерции каждой из точек.

Момент инерции J сплошного тела относительно некоторой оси определяется выражением

где r – расстояние элемента массы dm от оси вращения.

В простых случаях величину момента инерции можно определять расчетом.

Например:

момент инерции полого цилиндра (а также тонкого кольца, как частный случай полого цилиндра с малой высотой) относительно продольной оси J=mR², где m – масса кольца, R – его радиус.

момент инерции однородного цилиндра (а также диска) относительно продольной оси J=(1/2)mR², где m – масса цилиндра, R – его радиус;

момент инерции однородной сферы относительно оси, проходящей через центр масс, J=(2/5)mR², где m – масса сферы, R – ее радиус;

момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, J=(1/12)mL², где m – масса стержня, L – его длина;

момент инерции однородного прямоугольника относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости прямоугольника, J=(1/12)m(a²+b²), где m – масса прямоугольника, a и b – его длина и ширина;

Из вышеприведенных расчетов видно, что момент инерции тел зависит не только от массы тела, но также и от его формы. Например, момент инерции полого цилиндра отличается от момента инерции однородного цилиндра. В полом цилиндре каждая точка вносит одинаковый вклад в момент инерции, поскольку все точки находятся на одинаковом расстоянии от оси. В однородном цилиндре точки, расположенные ближе к оси, вносят меньший вклад в момент инерции. Поэтому при одинаковых массах момент инерции полого цилиндра больше момента инерции однородного цилиндра.

В тех случаях, когда распределение массы заранее неизвестно, момент инерции приходится находить экспериментальным путем. Одним из удобных методов измерения моментов инерции твердых тел является метод трифилярного подвеса.

Устройство такого подвеса показано на рис. 1. Подвижная платформа Р' подвешена к платформе Р на трех симметрично расположенных нитях AA’, ВВ’ и СС’. Платформа Р укреплена на вертикальной оси, вокруг которой она может вращаться с достаточно большим трением. Если платформу резко повернуть, то в системе возникнут крутильные колебания. Если повернуть нижнюю платформу Р’ вокруг вертикальной оси на некоторый угол φ₀ относительно верхней, то возникает момент сил, стремящийся вернуть платформу в положение равновесия. В результате этого платформа начинает совершать крутильные колебания.

Рис. 1. Трифилярный подвес.

Рассмотрим теорию трифилярного подвеса. Если пренебречь трением, то на основании закона сохранения энергии для колеблющейся платформы можно написать следующее уравнение:

(1)

где J - момент инерции платформы вместе с исследуемым телом, М - масса платформы с телом, Е - полная энергия системы,. z₀ - начальная координата точки О' при (φ == 0), z - координата точки 0^' при текущем значении φ. Точкой обозначено дифференцирование по времени.

Как следует из рис. 1, координаты точки С равны (r, 0, 0),а точка С’ имеет координаты (R cos φ, R sin φ, z).

Расстояние между точками С и С' равно длине нити l. Поэтому

(R cos φ - r)² + R² sin² φ+ z² = l²,

или

z² = l² - R² - r² - 2Rr cos φ = z₀² - 2Rr (1 - cos φ) ≈ z₀² - 2Rr φ². (2)

При написании (2) было принято во внимание, что для малых углов cos φ ≈ 1 - φ² /2. Извлекая корень из выражения (2), найдем, что при малых φ

z = (z₀² - Rr φ²)^1/2 = z₀ (1 - Rr φ² / z₀²)^1/2 ≈ z₀ - Rr φ² /(2z₀) (3)

Подставив это значение z в уравнение (1), получим:

(4)

Продифференцировав последнее выражение по времени и сократив на , получим уравнение движения системы:

(5)

Нетрудно убедиться непосредственной подстановкой, что решение этого уравнения имеет вид

(6)

где амплитуда φ₀ и фаза Θ определяются начальными условиями.

Период колебаний системы Т, следовательно, равен

(7)

Разрешив (7) относительно J, найдем выражение для момента инерции:

. (8)

Учитывая, что параметры прибора (R, r, z₀) во время опыта не меняются, формулу (8) удобно записать в виде

J=kMT², где k=gRr/ (4π²z₀); (9)

k для данного прибора постоянно. Формула (9) позволяет вычислить момент инерции платформы с телом и без него по измеренной величине периода T.

Как следует из вывода, формула (8) справедлива при отсутствии потерь энергии на трение. Учет таких потерь весьма затруднителен. Однако поправки оказываются небольшими, если потери энергии за период малы по сравнению с энергией колебаний системы. Таким образом, формула (8), а вместе с ней (9), справедлива, если

τ>>Τ (10)

где τ - время, в течение которого амплитуда колебаний платформы существенно уменьшается (в 2 - 3 раза).

В данной работе значения Т рекомендуется измерять с точностью не хуже чем 1%. Этим условием определяется время и полное число колебаний платформы, которое необходимо отсчитать в процессе измерений.

ЗАДАНИЕ

1. Не нагружая нижней платформы, проверьте, пригодна ли установка для измерений, т. е. можно ли возбудить крутильные колебания, не возникают ли при этом паразитные маятникообразные движения платформы и т. д.

2. Возбудив в системе крутильные колебания, проверьте, достаточно ли хорошо выполняется неравенство (10). Добиваться большой точности при выполнении этого упражнения не имеет смысла. Это измерение рекомендуется выполнять при ненагруженной платформе. Почему?

3. Как видно из формулы (7), период колебаний платформы Т не должен зависеть от амплитуды φ₀. Это справедливо, конечно, только для достаточно малых значений φ₀, поэтому необходимо установить рабочий диапазон амплитуд. Возбудив в ненагруженной системе крутильные колебания, измерьте время 20 — 30 полных колебаний и найдите период T₁, соответствующий некоторому начальному значению амплитуды φ₁. Затем, уменьшив амплитуду приблизительно вдвое, таким же способом найдите соответствующий ей период T₂. Если в пределах точности эксперимента окажется, что T₁ == T₂, то для дальнейших измерений можно выбрать любое значение φ₀ < φ₁. Если же окажется, что T₂ отличается от T₁, то начальное значение амплитуды φ₁ необходимо уменьшать до тех пор, пока указанное равенство не будет выполнено.

4. Измерьте высоту z₀ и радиусы R и r. Рассчитайте константу прибора k. Найдите величину погрешности σ_k.

5. Определите момент инерции ненагруженной платформы. Измерение периода колебаний Т в этом и следующих упражнениях проводите с точностью не хуже чем 1%. Погрешность измерения времени определяется не секундомером, а временем реакции экспериментатора. Измерьте свое время реакции.

6. Измерьте моменты инерции всех тел из имеющегося набора. Помещать грузы надо так, чтобы центр масс каждого из них лежал на оси вращения системы, т. е. чтобы не было перекоса платформы. Для удобства размещения грузов на платформе имеется штифт, а на образцах – углубления. Измерения для каждого образца нужно проводить для трех различных ориентаций.

Данные занесите в таблицу:

Табл. 1

№ опыта

№ образца

Длина образца a, мм

Ширина образца b, мм

Масса образца m, кг

Число колебаний

Время измерения t, с

Период колебаний T, с

Момент инерции образца Jобр, кг∙м^2

Массы образцов приведены в табл.2. При вычислениях не забудьте учесть массу и момент инерции платформы (M= М_платф +М_обр ; J= J_платф +J_обр)

7.Постройте график, по оси ординат которого отложите отношение J_обр/ М_обр, а по оси абсцисс – (a² + b²). Через точки на графике проведите наилучшую прямую. Найдите тангенс угла наклона этой прямой, а также его погрешность.

8.Получите теоретическую зависимость между J_обр, a и b для параллелепипеда.

9.Сравните экспериментальные и теоретические значения. С какой точностью они совпадают?

Контрольные вопросы

1. При каких упрощающих предположениях выведена формула (8)?

2. Можно ли пользоваться предложенным методом для определения моментов инерции тел в том случае, если ось вращения платформы не проходит через их центр масс?

3. Как надо устанавливать грузы на платформу, чтобы период колебаний маятника слабо зависел от массы груза (для грузов из одного набора)?

табл.2

Массы грузов, г

№				текстолит
	87.3	126.5	154.3	17.2
	136.3	192.6	234.3	33.2
	188.5	255.0	313.0	43.0
	235.1	321.6	389.6	51.3
	281.4	383.9	468.4	61.9
	328.5	448.9	545.3	71.6
				79,5

Литература

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. I. Механика.- М.: Наука, 1979у §§ 35, 36, 42.

2. Стрелков С. П. Механика.- М.: Наука, 1975, §§ 52, 55, 59.

3. Хайкин С. Э. Физические основы механики.-М.: Наука, 1971, §§67, 68;. 89.

4. Лабораторные занятия по физике: Учебное пособие/ Гольдин Л.Л., Игошин Ф.Ф., Козел С.М. и др.; Под ред. Гольдина Л.Л. – Наука, 1983. – 704 с.

Дата добавления: 2015-07-02