Задачи с указаниями и решениями

Класс

7.1. К числу 2012 припишите справа две цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 36. Найдите все возможные решения.

Ответ. 04 или 40 или 76. Указание. Заметим, что 36 = 9×4. По признаку деления на 9 сумма двух последних цифр полученного числа может быть либо 4, либо 13. В первом случае искомые две цифры – это 04 или 40 (другие варианты 13, 22 и 31 не подходят из-за признака деления на 4). Во втором случае получаем только вариант 76 (т.к. варианты 94, 85, 67, 58 и 49 не подходят). Другой способ решения: поделим с остатком 201200 на 36, неполное частное равно 5588, умножим следующие числа, а именно 5589, 5590, 5591 на 36, тогда последние две цифры произведения дадут ответ.

7.2. Средний возраст учительского коллектива школы, состоящего из 20 учителей, равнялся 49 годам. В новом учебном году в школу пришел еще один учитель, и средний возраст стал равен 48 годам. Сколько лет новому учителю?

Ответ. 28 лет. Указание. До нового учебного года суммарный возраст учителей был равен 49×20 = 980. В новом году он стал равен 48×21 = 1008. Значит, новому учителю 1008 – 980 = 28 лет.

7.3. Дан выпуклый четырехугольник ABCD и точка М внутри него, не лежащая на диагоналях. Докажите, что хотя бы один из углов Ð AMC или Ð BMD тупой.

Указание. Пусть О – точка пересечения диагоналей и пусть, для определенности, точка М лежит внутри треугольника ВОС. Тогда

Поэтому углы Ð AMC и Ð BMD не могут быть оба нетупыми.

7.4. Петя выписал на доске подряд все натуральные числа от 1 до n и подсчитал количество всех написанных цифр. Потом он позвонил Коле и спросил: "Чему равно n, если всего выписано 2012 цифр?" Коля сказал: "Пересчитай еще раз, ты ошибся". Кто из мальчиков прав?

Ответ. Коля прав. Указание. Если выписано 2012 цифр, то число n должно быть трехзначным: действительно, в случае двузначного п было бы выписано не более 9 + 2×90 = 189 цифр, а в случае четырехзначного (или более) – было бы выписано более 9 + 2×90 + 3×900 = 2889 цифр. Пусть k – количество выписанных трехзначных чисел (k = п – 99). Тогда общее количество выписанных цифр равно 9 + 2×90 + 3× k, поэтому оно не может равняться 2012 (т.к. 2012 не делится на 3).

7.5. Сумма десяти различных натуральных чисел больше 144. Докажите, что среди этих десяти чисел найдутся три числа, сумма которых не меньше 54.

Указание. Пусть – три наибольших числа среди данных. Если а ³ 17, то 17+18+19 = 54, и утверждение доказано. Рассмотрим теперь случай а £ 16 и предположим противное к утверждению задачи. Тогда , а остальные (меньшие) семь чисел из данных десяти в сумме дают число не более 15+14+13+12+11+10+9 = 84. Значит, сумма всех десяти чисел не более 54+84 = 138 < 144, т.е. получили противоречие.

Олимпиада по математике Муниципальный этап 2014–2015 уч. г.

Дата добавления: 2015-07-02