Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид:

где и параметры распределения, причем = M (X), = (X).

График дифференциальной функции распределения называют нормальной кривой, или кривой Гаусса (рис.1).

Рис.1

Если (X) = 0, (X) = 1, то нормально распределенная случайная величина называется нормированной, ее дифференциальная функция распределения табулирована.

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (, ) находим по формуле:

Данный интеграл выражается через функцию Лапласа, которую еще называют интегралом вероятностей и обозначают Ф (t):

Ф (t) .

Функция Лапласа – это вероятность попадания нормированной нормально распределенной случайной величины в интервал (0, t).

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1. Ф (0) = 0.

2. Ф (– t) = – Ф (t), то есть она нечетная.

3. Ф (¥) = 0,5 (практически уже при t > 4).

Функция Ф (t) табулирована (см. прил. 2).

Применяя функцию Лапласа, получим:

При решении задач часто возникает необходимость определения вероятности отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания:

Пример 1. Средний процент выполнения плана некоторыми предприятиями составляет 105 %, среднее квадратическое отклонение – 5 %. Полагая, что выполнение плана предприятиями подчинено закону нормального распределения, вычислить долю предприятий, выполняющих план от 110 до 130 %, то есть определить вероятность попадания рассматриваемой величины в интервал (110, 130).

Решение. Случайная величина X – выполнение плана предприятиями; она имеет нормальное распределение с параметрами:

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой:

Пример 2. Длина изготовляемой детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Средняя длина детали равна 50 мм, а дисперсия – 0,25 мм2. Какое поле допуска длины изготовляемой детали можно гарантировать с вероятностью 0,99?

Решение. Длина изготовляемой детали – случайная величина X, имеющая нормальный закон распределения с параметрами:

= (X) = 50 мм, = (X) = = 0,5.

Известна вероятность, гарантирующая некоторое поле допуска, то есть Р (a< X < b) = 0,99. Чтобы найти это поле допуска, воспользуемся формулой:

Неравенство ½ X ½< e эквивалентно неравенству , следовательно, и равновероятно, то есть

Исходя из условия задачи, можем записать:

= 0,99; = 0,495.

По таблице значений функции Лапласа (см. прил. 2) находим = 2,58.

Отсюда e = 2,58 × = 1,29, тогда 50 – 1,29 £ X £ 50 + 1,2 или 48,71 £ X £ 51,29.

 

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Аномалии, отклонения и редукции силы тяжести | I. Акты общего характера
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-07-02; Просмотров: 351; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.014 сек.