Формула Бернулли. Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий

Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события в –м испытании.

Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых событие может либо появиться с вероятностью , либо не появиться с вероятностью . Рассмотрим событие , состоящее в том, что событие в этих испытаниях наступит ровно раз и, следовательно, не наступит ровно раз. Обозначим появление события , a — непоявление события в –м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем

Событие может появиться раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из элементов по , т. е. . Следовательно, событие можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно :

где в каждое произведение событие входит раз, а — раз.

Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна . Так как общее количество таких событий равно , то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события (обозначим ее )

(3.2)

Формулу (3.2) называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.

Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.

Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая , по формуле (3.2) получаем

Пример 2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?

Решение.

Дата добавления: 2015-07-02