Предел числовой последовательности

Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность : . Другими словами, числовая последовательность - это функция натурального аргумента: .

Числа называются членами последовательности, а число - общим или -м членом данной последовательности.

Примеры числовых последовательностей:

1) (монотонная, неограниченная);

2) (не монотонная, ограниченная);

3) . Рассмотрим эту числовую последовательность. Изобразим ее точками на числовой оси (рис. 2.5):

Рис. 2.5

Видно, что члены последовательности с ростом как угодно близко приближаются к нулю. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше.

Число называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство: .Обозначают: или при .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Теорема. Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Дата добавления: 2015-07-02