Непрерывность функции

Замечательные пределы.

Сравнение бесконечно малых

пусть и - бесконечно малые функции при () и существует предел , тогда:

1) если , то и называются бесконечно малыми одного порядка;

2) если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми ();

3) если , то - бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с .

Например, при , , , .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения бесконечно малых, эквивалентных данным, т.е. если , при (), то .

Первым замечательным пределом называется предел вида .

Следствие.

Вторым замечательным пределом называется предел: .

Следствие. (число ).

Пример. Вычислить пределы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) ; ж) .

Решение:

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

е) .

ж) .

Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим условиям: 1) определена в точке , т.е. существует ; 2) имеет конечные односторонние пределы функции при слева и справа; 3) эти пределы равны значению функции в точке , т.е. .

Пример. Исследовать функции на непрерывность в точке : а) , б) .

Решение: а) . При функция определена, , , , т.е. все три условия непрерывности функции в точке выполнены. Следовательно, функция в точке непрерывна.

б) . При функция не определена; ; . Т.о. в точке функция не является непрерывной, т.к. не выполнены первое и третье условия непрерывности функции в точке.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: .

Точка называется точкой разрыва функции , если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва:

Первого рода – когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при , не равные друг другу: . К точкам разрыва первого рода относятся также точки устранимого разрыва, когда предел функции при существует, но не равен значению функции в этой точке.

Второго рода – когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .

2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .

3. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке . Свойство можно записать: , т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция называется непрерывнойна промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения (теорема Вейерштрасса).

3. Если функция непрерывна на отрезке и значения ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что . (Теорема Больцано-Коши.)

Пример. Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции . Установить характер разрыва.

Решение: При функция не определена, следовательно, функция в точке терпит разрыв: , а . Так как односторонние пределы бесконечны, то - точка разрыва второго рода.

Задания для самостоятельной работы.

Вычислить пределы:

1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. .

9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. .

17. . 18. . 19. . 20. . 21. . 22. . 23. . 24. .

Вычислить односторонние пределы:

25. .

26. .

27. .

Найти точки разрыва и построить графики функций:

28. . 29. . 30. .

31. . 32. . 33. .

34. . 35. .

Дата добавления: 2015-07-02