Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции

Типы разрывов

А. Пусть существуют конечные f(x₀-0) и f(x₀+0), но они не равны друг другу . Тогда говорят, что в точке х₀функция f(x) имеет разрыв I рода или скачек.

График функции f(x) в окрестности точки х₀ имеет в этом случае примерно такой вид:

Величина |f(x₀+0)-f(x₀-0)| называется величиной скачка функции f(x) в точке х₀.

Б. Если хотя бы один из пределов бесконечен или не существует, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв второго рода.

Виды графика функции f(x) в окрестности точки х₀ в этом случае гораздо разнообразнее. Некоторые возможные варианты приведены ниже.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функция f(x) не равная g(x), f(x)g(x) и (если g(x) не равно 0) непрерывны в точке x0.

Доказательство.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀. Это значит, что . Но тогда, по свойствам пределов

Последнее свойство верно, если . <

Пусть y=f(x), но x, в свою очередь, является функцией некоторого аргумента t: x=j(t). Тогда комбинация y=f(j(t)) называется сложной функцией, или суперпозицией функции j(t).

Примеры:

а) y=sin(x), x=e^t => y=sin(e^t)

б) y= e^x, x=sin(t) => y= e^sin(t)

Дата добавления: 2015-07-02