Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Решение дифференциальных уравнений в СКМ




Решение дифференциальных уравнений (ДУ) является одной из самых сложных задач математики. Она возникает практически во всех областях знаний: в науке, в технике, в экономике. Как известно, дифференциальные уравнения делятся на обыкновенные (ОДУ) и дифференциальные уравнения в частных производных – по-другому их называют уравнениями математической физики. Последние и представляют более общий инструмент исследования, но большие трудности в их решении заставляют, по возможности, применять аппарат ОДУ. Это нашло отражение в средствах пакетов СКМ и, в частности, в MathCad, где приводится мощный и разнообразный аппарат работы с ОДУ.

Методы их численного решения глубоко разработаны в вычислительной математике, широко алгоритмизированы и представлены в MathCad практически в полном объеме. Поэтому не будем подробно останавливаться на этой теме, а перейдем к аналитическим методам решения ДУ в MathCad.

Сразу отметим, что в СКМ Mathematica и Marpl имеются встроенные блоки решения ОДУ в символьной форме; разработчики КСМ MathCad пошли другим путем: специального обособленного инструмента решения ОДУ в ней нет. Для решения ОДУ предлагается последовательно применять набор встроенных операторов. Ниже покажем, что это не является недостатком этого пакета.

Большинство практических задач может быть сведено к аппарату линейных систем ДУ (ЛОДУ). С одной стороны, методы их аналитического решения и анализа хорошо разработаны и широко известны, а нелинейность в большинстве случаев можно исключить, разбив общую задачу на ряд частных подзадач без большого ущерба для точности.

Известно, что решение ЛОДУ в общем виде равно сумме общего решения однородного ЛОДУ (с нулевой правой частью), и какого-либо частного решения неоднородного ЛОДУ.

Для решения подобного уравнения СКМ MathСad, где такие решающие блоки отсутствуют, рекомендуется применять операторные методы – прямое и обратное преобразование Лапласа или Фурье. Напомним, что смысл этого метода заключается в переходе от искомой функции, называемой оригиналом, к особым интегральным функциям комплексного переменного s – так называемым изображениям, в результате чего после подстановки изображения вместо оригинала в линейное ДУ операция дифференцирования относительно новой переменной заменяется операцией умножения на соответствующий новый аргумент s, а само ДУ n -й степени преобразуется в многочлен этой же степени относительно s, называемый характеристическим. Определив корни характеристического многочлена и выполнив обратный переход от изображения к оригиналу при помощи обратного преобразования Лапласа или Фурье, соответственно, легко можно отыскать решение исходного ДУ.

Конкретные действия для решения указанной задачи следующие. Пусть дано исходное ЛОДУ:

Его необходимо записать в форме с нулевой правой частью и вызывать с панели Symbolic оператор laplace и задать исполнение:

в результате получается малопонятное выражение, в котором обозначим изображение функции одной буквой, например, h, выражения для начальных значений функции и первой производной заменим, например, на Х0 и Х10, соответственно. После всех этих преобразований и замен будет получено следующее выражение:

Разрешим это уравнение относительно h оператором solve и применим обратное преобразование Лапласа invlaplace (оба с панели Symbolic):




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-07-02; Просмотров: 353; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.007 сек.