Некоторые применения операционного исчисления

Формула Меллина обращения преобразования Лапласа

Первая теорема разложения

Если - ряд Лорана, сходящийся при | p | > R, то

Вторая теорема разложения

Пусть - правильная рациональная дробь и

Тогда

где

В частности, если все корни знаменателя простые и

то

1. Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Применяя преобразование Лапласа и используя теорему о дифференцировании оригинала, приходим к уравнению

где

Преобразуя, получаем уравнение вида откуда

Из последнего соотношения получаем возможность найти оригинал x(t) по его изображению X(p).

Начальная задача сводится заменой к описанной.

2. Решение задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Схема применения преобразования Лапласа такая же, как в п. 1.

Пример.

Применяя преобразование Лапласа, приходим к алгебраической системе:

откуда

3. Решение интегральных уравнений Вольтера типа свертки

Применяя преобразование Лапласа, получаем

где

Из последнего уравнения выразим X(p) и по X(p) найдем оригинал x(t) - решение интегрального уравнения.

4. Вычисление несобственных интегралов.

Если f = F, g = G, то

(формула Парсеваля).

Таблица основных преобразований Лапласа

Дата добавления: 2015-07-02