Линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Принцип суперпозиции

Если y_k(x) - решение линейного уравнения

то - решение уравнения

Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных при нахождении общего решения линейного неоднородного уравнения

Если известно общее решение

(C₁, C₂,..., C_n - произвольные постоянные) однородного уравнения

то общее решение неоднородного уравнения

можно искать в виде

определяются из системы

Уравнение Эйлера

(a_n-1, a_n-2,..., a₀ - постоянные) заменой независимой переменной x = e^t сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами вида

В векторной форме:

dY/dx = AY,

где

Характеристическое уравнение

или .

Нахождение общего решения системы по методу Эйлера

1. Если - простой корень характеристического уравнения, то ему соответствует решение

числа находятся из системы

2. Если - корень кратности m характеристического уравнения, то ему соответствует решение вида

где P₁(x), P₂(x),..., P_n(x) - многочлены степени не выше m -1, имеющие в совокупности m произвольных постоянных.

Коэффициенты многочленов можно определить, подставив выражения для y₁, y₂,..., y_n в исходную систему.

Найдя решения, соответствующие каждому корню характеристического уравнения, общее решение системы получим как линейную комбинацию этих решений.

Например, если все корни характеристического уравнения простые, а решениями, соответствующими этим корням , будут:

то общее решение этой системы имеет вид:

Линейная неоднородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

где

Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы.

Для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Дата добавления: 2015-07-02