Нарощена сума ренти

Розглянемо постійну, звичайну, річну ренту. Наприклад, платежі у розмірі 100 грн. протягом трьох років вносяться наприкінці року на рахунок, де наростає 5% річних. Тоді перші 100 грн. лежатимуть на рахунку 2 роки і збільшаться, тобто сума 100 грн., виплачених наприкінці першого року, дорівнюватиме наприкінці ренти 100∙1,05² =110,25 грн. Аналогічно другі 100 грн., які внесені наприкінці другого року, наприкінці терміну ренти вартуватимуть 100∙ 1,05=105 грн. Останні 100 грн., внесені наприкінці третього року, не зміняться. Отже, наприкінці терміну ренти (через 3 роки) внески разом з нарахованими на них відсотками утворять ряд: 100∙1,05²; 100∙ 1,05; 100. Сума цих платежів: 100∙1,05²+100∙ 1,05+ 100=100∙(1,05²+1,05+1)=100∙3,1525=315,25 (грн.) – це нарощена сума річної ренти з членом R= 100 грн., терміном 3 роки; відсотковою ставкою 5% річних (рис. 1).

315,25

Рис. 1

Узагальнимо приклад, використавши відповідні умовні позначення: S – нарощена сума ренти; P – розмір члена ренти; i – річна ставка відсотків у коефіцієнтах; n – термін ренти в роках.

Платежі P, які вносяться, разом з нарахованими на них відсотками наприкінці терміну ренти утворять послідовність n членів

.

Якщо переписати цей ряд в оберненому порядку

,

то видно, що це геометрична прогресія з першим членом – P та знаменником прогресії q =(1 +і). Скориставшись формулою суми членів скінченної геометричної прогресії, дістанемо формулу нарощеної суми річної звичайної, постійної ренти

. (1)

Позначимо множник, на який множиться член ренти P, через S_{n;i ,} де індекс (п;і) вказує на тривалість ренти і застосовану ставку відсотків.

Коефіцієнт нарощення ренти матиме вигляд

.

Коефіцієнт S_{n;i ,} – цс нарощена сума ренти, член якої дорівнює 1 грн. У зарубіжній літературі його позначають FVIFA_(i;n) — Future Value Interest Factor Annuities — процентний фактор майбутньої вартості аннуїтету. Значення цього множника залежить лише від параметрів n та i. Його знаходять у спеціальних таблицях складних відсотків.

Приклад 1. Створюється фонд, внески вносяться протягом 10 років раз наприкінці року по 100 тис. грн. На зібрані гроші нараховуються відсотки за ставкою 10% річних. Знайти розмір фонду наприкінці терміну.

Дано: P=100 тис грн.; n=10; i=10%=0,1; S–?

Якщо немає можливості скористатися таблицями складних відсотків, то за формулою (1)

Якщо нарахування відсотків проводять m разів на рік на платежі, що вносяться один раз на рік, то при цьому використовується ставка відсотків j/т, де j — номінальна ставка відсотків. Очевидно, платежів з нарахованими відсотками буде в т разів більше, і вони утворять послідовність:

Сума членів цієї зростаючої скінченної геометричної прогресії дорівнюватиме:

. (2)

Приклад 2. Знайти нарощену суму ренти, описаної у прикладі 1, за умови, що відсотки нараховуються щоквартально.

Дано: P =100 тис грн.; n =10; j =0,1; т=4; S –? Обчислимо: т∙ п= 40; j/т=0,1/4=0,025.

За формулою (2)

(грн.)

Результати обчислень нарощених сум у прикладах 1 і 2 показали, що частіше нарахування відсотків збільшує кінцеву суму ренти.

Розглянемо k термінову ренту, тобто коли рівні платежі вносяться k разів на рік.

Якщо сума річного платежу P, то разовий платіж тепер становитиме P/k. Не описуючи процесу нарощення членів такої ренти, запишемо формулу нарощеної суми k термінової ренти, коли відсотки нараховуються один раз на рік

. (3)

Формула (3) може бути використана для k термінової ренти, коли т= 1. Якщо число членів ренти k та кількість нарахувань відсотків т протягом року збігаються (k =т), тоді можна використати формулу (1), в якій і замінити на j/т; число років п замінити кількістю нарахувань відсотків за весь термін т∙п, при цьому член ренти дорівнюватиме P/т. Тоді отримаємо формулу

(4)

Якщо періоди ренти не збігаються з періодами нарахування відсотків , то така рента називається загальною. Аналогічно до формули (1) можна вивести для загальної ренти формулу нарощеної суми

. (5)

Приклад 3. Для створення резервного фонду щорічно виділяють 40 тис грн. На акумульовані засоби нараховуються складні відсотки за ставкою 6%. Визначити загальну суму фонду через 5 років для таких варіантів надходжень та нарахувань відсотків:

а) надходження наприкінці року, нарахування відсотків за півріччя;

б) надходження наприкінці кварталу, нарахування відсотків за півріччя;

в) квартальне надходження і нарахування відсотків.

Дано: P =40000 грн.; n =5; i=j =0,06;

а) , ; б) , ; в) /

а) За формулою (2)

.

б) За формулою (5)

.

в) За формулою (4)

.

Як видно з прикладу 3, умови здійснення платежів і нарахування відсотків (їх частота) помітно впливають на розмір кінцевої суми. Наприклад, можна встановити, що рента з умовами (k= 1; т= 4) дає меншу нарощену суму, ніж з k= 4; т= 2 при рівних всіх інших умовах.

Приклад 3. Для створення резервного фонду щорічно виділяють 40 тис грн. На акумульовані засоби нараховуються складні відсотки за ставкою 6%. Визначити загальну суму фонду через 5 років для таких варіантів надходжень та нарахувань відсотків:

а) надходження наприкінці року, нарахування відсотків за півріччя;

б) надходження наприкінці кварталу, нарахування відсотків за півріччя;

в) квартальне надходження і нарахування відсотків.

Дано: P =40000 грн.; n =5; i=j =0,06;

а) , ; б) , ; в) /

а) За формулою (2)

.

б) За формулою (5)

.

в) За формулою (4)

.

Як видно з прикладу 3, умови здійснення платежів і нарахування відсотків (їх частота) помітно впливають на розмір кінцевої суми. Наприклад, можна встановити, що рента з умовами (k= 1; т= 4) дає меншу нарощену суму, ніж з k= 4; т= 2 при рівних всіх інших умовах.

Дата добавления: 2015-07-02