Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Ряд Фурье для функций с периодом 2l.

Пусть функция f(x) задана в симметричном промежутке [-l, l] произвольной длины 2 l > 0. Если использовать подстановку x = ly/ , где - < y < , то получаем функцию f(ly/ ) от аргумента у в промежутке [- , ] и ее можно разложить в ряд Фурье по переменной у: f(ly/ ) = a₀/2 + a_ncos nу + b_nsin nу

а₀ = 1/ ; a_n = 1/ ; b_n = 1/

Теперь вернемся к прежней переменной x, используя обратное преобразование y = x/l, тогда

f(x) = a₀/2 + a_ncos n x/l + b_nsin n x/l (26)

а₀ = 1/ l ; a_n = 1/ l ; b_n = 1/ l (27)

Эти формулы определяют разложение в ряд Фурье функции с периодом произвольной длины.

Пр. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом 2 l = 2, заданную формулой

f(x) = x, x [-1, 1]

Решение. Функция удовлетворяет условиям Дирихле, нечетная, поэтому a_n = 0,

b_{n =} 1/ l = 2 = (-2/ n)x cos n x|₀¹ + (2/ n) =

= (-2/ n)x cos n = 2(-1)ⁿ⁺¹/ n

В точках непрерывности f(x) = 2/ (-1)ⁿ⁺¹/ n sin x, а в точках разрыва равна 0.

В ряд Фурье можно разлагать не только периодические функции, но и любые ограниченные функции, определенные на конечном участке числовой оси, если вне этого участка поведение функции нас не интересует. Если участок оси симметричен [-l, l], то используется разложение (26), (27). Если функция f(x) задана на сегменте [0, l], то для разложения в ряд Фурье достаточно доопределить ее в сегменте [-l, 0] произвольным образом, а затем разложить в ряд Фурье, считая ее заданной в сегменте [-l, l]. Наиболее удобно доопределять функцию условием четности f(-x) = f(x) или нечетности f(-x) = -f(x). В этом случае используются разложение только по синусам или только по косинусам в формулах (26), (27).

Пр. Разложить в ряд Фурье функцию заданную в сегменте [0, 1] уравнением f(x) = x

Решение 1. Доопределим функцию f(x) на сегменте [-1, 0] нечетным образом, т.е. f(x) = x на сегменте [-1, 1]. В этом случае приходим к рассмотренной выше задаче

f(x) = 2/ [(-1)ⁿ⁺¹ sin n x] /n

Решение 2. Доопределим функцию f(x) на сегменте [-1, 0] четным образом, т.е. f(x) = -x. В этом случае b_n = 0, а₀ = 1/ l = 2 = 1;

a_n = 1/ l = 2 = - (2/ ² )(1 - cos n)/n² =

= - (2/ ²n² ) (1 – (-1)ⁿ) = - (2/ ²n² ) {

или а_2m = 0, a_2m+1 = - 4/ ² (2m+1)², т.е. получаем разложение f(x) по нечетным гармоникам косинуса f(x) = - 4/ ² cos (2m+1)x / (2m+1)²

Оба решения на сегменте [0, 1] дают одинаковыйчисленный и графический результат, а за его пределами значения функций различны.

. Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Непрерывность и дифференцируемость несобственных интегралов. Эйлеровы интегралы.

Рассмотрим функцию f(x,y) двух переменных, определенную для всех значений х в некотором промежутке [а, b] и всех значений у. Пусть, при каждом постоянном значении у будет интегрируема в промежутке [а, b], в собственном или в несобственном смысле. Тогда интеграл

будет, очевидно, функцией от вспомогательной переменной или параметра у.

При изучении свойств функции, которая задана интегралом, содержащим параметр у,

важное значение имеет вопрос о производной этой функции по параметру.

Поставим, наконец, вопрос об интеграле по у, скажем, в промежутке [с, д].

Дата добавления: 2015-07-02