Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Следствие леммы. Коэффициенты Фурье всякой интегрируемой функции стремятся к нулю:




При.

Доказательство. Пусть сначала – характеристическая функция интервала, Тогда

Любая ступенчатая функция есть линейная комбинация характеристических функций интервалов, поэтому для любой ступенчатой функции утверждение леммы справедливо. Если же то для любого существует ступенчатая функция такая, что . Далее найдем такое, что при выполняется неравенство . Тогда справедлива оценка , которая завершает доказательство леммы.

Вернемся теперь к интегралу . Пусть в точке x суммируемая функция удовлетворяет условию Дини: отношение интегрируемо по t в пределах , и, следовательно, по всему интервалу , так как вне окрестности нуля знаменатель отделен от нуля, а числитель – интегрируемая функция. Тогда и функция и к интегралу применима лемма: .

Теорема доказана.

Замечание. Условие Дини в ряде случаев можно ослабить, но вовсе отбросить его с сохранением сходимости ряда Фурье нельзя. Существуют даже непрерывные функции, у которых ряд Фурье в отдельных точках расходится. А.Н. Колмогоров построил пример суммируемой функции, у которой ряд Фурье расходится в каждой точке. В 1915 году профессором Московского университета Н.Н. Лузиным была сформулирована проблема: будет ли сходится ряд Фурье почти всюду для ? Лишь в 1966 году шведский математик Карлесон разрешил эту проблему: в нет функций, для которых ряд Фурье расходится на множестве положительной меры.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-07-02; Просмотров: 617; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.