В тех же терминах можно дать условие равномерной сходимости ряда Фурье. Справедлива следующая

Теорема. Если на некотором множестве суммируемая функция ограничена, и условие Дини выполняется равномерно, то есть так, что одновременно для всех , то ряд Фурье сходится к ней равномерно на множестве D.

Замечание. Рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы, останутся в силе, если вместо условия Дини потребовать сходимость интегралов и (предполагается, что x – точка разрыва первого рода).

Действительно,

при .

Отсюда вытекают условия «глобальной» сходимости, обычно приводимые в курсе математического анализа.

Теорема [1]. Пусть f - ограниченная функция с периодом , имеющая разрывы лишь первого рода, и пусть f имеет в каждой точке левую и правую производные. Тогда ее ряд Фурье сходится всюду, а его сумма равна f(x) в точках непрерывности и равна в точках разрыва.

В вопросе равномерной сходимости ряда Фурье непрерывность функции f является необходимым условием. Простое достаточное условие дает следующая теорема:

Дата добавления: 2015-07-02