Основные понятия. В этой главе рассматриваются вопросы о собственных векторах и собственных значениях произвольной квадратной матрицы

СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ.

В этой главе рассматриваются вопросы о собственных векторах и собственных значениях произвольной квадратной матрицы, симметрической матрицы и подобных матриц.

Определение. Вектор , называется собственным вектором квадратной матрицы , если существует такое число , что

.
При этом число называется собственным значением матрицы , соответствующим собственному вектору .

Уравнение может быть записано в виде

.

Определение. Если - собственное значение матрицы , а соответствующий ему собственный вектор, то называют собственной парой матрицы .

● Пример 1. Показать, что вектор является собственным вектором матрицы .
Найти соответствующее ему собственное значение.

Решение.

Так как (),
то - собственный вектор матрицы , соответствующий собственному значению .●

● Пример 2. Показать, что если - собственная пара матрицы , то - собственная пара матрицы .

Решение. Действительно,

, т.е. . Из последнего следует, что - собственная пара матрицы .●

● Пример 3. При каких и вектор является собственным вектором матрицы ?

Решение. Найдем вектор . .

Если - собственный вектор матрицы , то , откуда . Из последнего имеем и и .

Ответ: при и произвольном вектор собственный вектор матрицы .

● Пример 4. Существует ли , при котором - собственный вектор матрицы ? Если существует, указать соответствующую собственную пару.

Решение. Вычислим произведение

Если - собственная пара матрицы , то

.

Из последнего равенства имеем
Откуда, , .

- собственная пара матрицы .●

Дата добавления: 2015-07-02