Нахождение собственных значений и собственных векторов

Собственные значения и собственные векторы матрицы удовлетворяют матричному уравнению .

Если собственный вектор матрицы , то однородная система имеет нетривиальное решение, поэтому ( порядок матрицы и .
Последнее уравнение позволяет найти собственные значения матрицы .

Определение. Многочлен называют характеристическим многочленом матрицы .

Определение. Уравнение

называется характеристическим уравнением матрицы .

Корни характеристическогоуравнения матрицы являются собственными значениями матрицы .

Характеристическое уравнение матрицы может быть записано в виде .

Определение. Множество всех собственных значений квадратной матрицы называется спектром этой матрицы.

Спектр матрицы -го порядка содержит собственных значений матрицы, которые могут быть как действительными, так и комплексными, простыми так и кратными.

Для матрицы характеристическое уравнение может быть может быть преобразовано к виду .

, поэтому характеристическое уравнение матрицы имеет вид

. (8.1)

При этом

, (8.2)

. (8.3)

Уравнение является характеристическим уравнением матрицы .
Это уравнение может быть представлено в виде

или

, (8.4)

где , а миноры определителя .

Если , и корни характеристического уравнения (8.4), то это уравнение может быть записано в виде

. (8.5)

Сравнивая уравнения (8.4) и (8.5), можно записать следующее:

, (8.6)

, (8.7)

. (8.8)

Собственные векторы матрицы , соответствующие собственному значению , удовлетворяют матричному уравнению , которое может быть записана в форме
Так как ранг матрицы этой системы меньше числа неизвестных ( =0), то система имеет бесконечное множество

решений, каждое ненулевое из которых является собственным вектором, соответствующим собственному значению .

● Пример 5. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. - характеристическое уравнение для данной матрицы, откуда , и .

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем систему эквивалентную уравнению . Вектор является решением этого уравнения, а при вектор - искомый собственный вектор.

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем систему из которой следует, что вектор при является собственным вектором, соответствующим собственному значению .

Ответ. , при ;
, при .

● Пример 6.

Найти собственные пары матрицы .

Решение. - характеристическое уравнение матрицы , которое может быть записано в виде , где
, , , , (проверьте).

- характеристическое уравнение матрицы , корни которого .

Собственные векторы, соответствующие собственному значению , находим из системы .
При имеем систему
которая равносильна системе решение которой .

При вектор является собственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .

При для нахождения собственных векторов имеем систему которая равносильна одному уравнению .

При любых и вектор есть решение уравнения , а при

является собственным вектором, который соответствует собственному значению .

Ответ: при ; при .

● Пример 7. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Решение. Характеристическое уравнение для указанной матрицы имеет вид , откуда и .

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем систему из которой следует при .

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному значению , имеем систему из которой следует при .

Ответ. , при ;
, при .

● Пример 8.

Доказать, что если собственная пара невырожденной матрицы , то -собственная пара матрицы .

► Так матрица невырожденная (), то существует . Произведение собственных значений матрицы равно , а так как , то собственное значение .

-собственная пара матрицы , поэтому . Умножив последнее равенство слева на , имеем , откуда , и . Последнее равенство означает, что -собственная пара матрицы .◄

Дата добавления: 2015-07-02