Собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы

Теорема.Собственные значения симметрической матрицы действительные числа.

► Предположим противное.
Пусть комплексное число - собственное значение симметрической матрицы , а вектор собственный вектор, соответствующий указанному собственному значению, т.е. .
Тогда , откуда

, (8.9)

(8.10)

Умножая (8.9) слева на , учитывая равенство и используя (8.10), имеем
, ,
, ,
откуда , а это противоречит тому, что и . Противоречие доказывает теорему.◄

Теорема.Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно перпендикулярны.

►Пусть собственный вектор матрицы , соответствующий собственному значению и - собственный вектор, соответствующий собственному значению

(8.11)

(8.12)

Умножая равенство (8.11) слева на , учитывая равенство и используя (8.12), имеем , откуда , т.е. векторы и взаимно перпендикулярны.◄

● Пример 11. При каком значении вектор является собственным вектором матрицы ?

Показать, что при найденном значении вектор также является собственным вектором этой матрицы. Найти все собственные пары этой матрицы при найденном .

Решение. . Так как собственный вектор матрицы , то , откуда , . При найденном =-2 и .

Найдем собственное значение, соответствующее собственному вектору .

= =3 , откуда следует, что вектор собственный вектор матрицы , который соответствует собственному значению .

При найденном матрица симметрическая, поэтому собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, взаимно перпендикулярны. Третий собственный вектор найдем как вектор, перпендикулярный векторам и . Вектор перпендикулярен векторам и . Проверим, что - собственный вектор этой матрицы и найдем соответствующее ему собственное значение.
, откуда следует, что =6 , а вектор при - собственный вектор матрицы , который соответствует собственному значению .

Ответ: ;

при (-2, ),(3, ),

(6, ) - собственные пары матрицы.

Дата добавления: 2015-07-02