Множество Кантора

Совершенные нигде не плотные множества на прямой

Рассмотрим сегмент [0,1] и назовем его сегментом нулевого ранга .

Разделим его на три равные части и выбросим серединный интервал - .

Два оставшихся сегмента назовем сегментами первого ранга , а выброшенный интервал – смежным интервалом первого ранга. Далее так же продолжаем делить каждый из отрезков первого ранга и удалять из них средние интервалы (смежные сегменты второго ранга). Объединение отрезков второго ранга обозначим за . Продолжая процесс счетное число раз, мы получим на шаге n в качестве - объединение отрезков n -го ранга. Множество называется предканторовым множеством n-го ранга, а их счетное пересечение канторовым множеством.

Если посчитать суммарную длину выброшенных интервалов, то получится 1. Тогда выходит, что мы выбросили практически все тоски сегмента [0,1]. Остается ли что-то в множестве ? Очевидно, что все концы смежных интервалов остаются во множестве . Назовем их точками множества Кантора первого рода, они образуют счетное множество (было доказано на семинаре). Легко заметить, что ему принадлежит, например, точка , так как сегмент любого ранга, которому она принадлежит, она делит в соотношении 1:3.

Множество Кантора обладает следующими свойствами:

ü оно замкнуто[1];

ü не содержит изолированных точек[2];

ü представляет собой пример совершенного множества[3] на прямой;

ü оно сепаратабельное[4];

ü нигде не плотное[5] на прямой ;

ü каждая его точка является точкой конденсации[6].

Все перечисленные свойства были доказаны в рамках курса «Избранные главы математического анализа».

Дата добавления: 2015-06-27