Лекция 15

7.1.3. Нечёткие отношения.

Наряду с нечеткими множествами и переменными в логике нечётких множеств вводится в рассмотрение нечеткое отношение R: Х®У как нечеткое подмножество декартова произведения множеств Х ´ У, которое определяется с помощью функции принадлежности двух переменных по формуле:

R ò µ _R (х, у)/(х, у).

_{Х ´ У}

В общем случае n-арное отношение (n-отношение) определяется следующим образом. Пусть R — результирующее множество декартова произведения n множеств и µ - его функция принадлежности. Нечеткое n -отношение определяется как нечеткое подмножество R, принимающее какое-либо значение из µ в соответствии с формулой:

R = ò µ _R (х ₁,……………., х _n)/ (х ₁,……………., х _n),

Х₁ ´……..´ Х_n

х _i Î Х_i, i = 1,……..,n

Пример. Допустим, что

Х= (Игорь, Ольга); У= (Владимир, Людмила)

Дружба = 0,6 (Игорь, Владимир) + 0,9 (Игорь, Людмила) + 0,8 (Ольга, Владимир) + 0,2 (Ольга, Людмила).

Отношения удобно задавать с помощью матрицы отношений µ ={ µ _ij }:

Владимир Людмила

Игорь 0,6 0,9

µ = Ольга 0,8 0,2

Для задания отношений между нечёткими множествами необходимо ввести понятие декартового произведения между нечёткими множествами.

Декартово произведение двух нечётких множеств А и В, определённых как подмножества областей рассуждения U и V соответ-ственно, определяется соотношением.

А ´ В = ò µ_А(u) µ_В(v)/(u/v), где

U ´V

µ_А(u) µ_В(v) = min (µ_А(u), µ_В(v)), U ´V -декартово произведение областей рассуждения, которое определяется как:

U ´V={ (u,v)/ u ÎU, v Î V}.

Нечёткое произведение А ´ В является нечётким отношением U к V, так как онопредставляет собой нечёткое множество упорядоченных пар (u,v) со степенью принадлежности µ_А´В (u,v), равной min (µ_А(u), µ_В(v))

Пример:

U=(u ₁, u ₂);

V=(v₁,v₂,v₃);

А = {(0,6/u₁); (0,4/u₂)};

B = {(0,9/v₁); (0,2/v₂); (1/v₃)};

Тогда:

А ´ В = min(0,6;0,9 )/( u _1, v₁ ) + min(0,6;0,2 )/( u _1, v₂ ) + min(0,6;1 )/( u _1, v₃ ) + min(0,4;0,9 )/( u _2, v₁ ) + min(0,4;0,2 )/( u _2, v₂ ) + min(0,4;1 )/( u_2, v₃ ) = 0,6 /( u _1, v₁ ) + 0,2 /( u _1, v₂ ) + 0,6 /( u _1, v₃ ) + 0,4 /( u _2, v₁ ) + 0,2 /( u _2, v₂ ) + 0,4 /( u _2, v₃ ). Это произведение можно записать с помощью матрицы в следующем виде:

v₁ v₂ v₃

u ₁ 0,6 0,2 0,6

u ₂ 0,4 0,2 0,4

Свойства нечетких отношений :

Пусть R нечёткое отношение, построенное между элементами одной и той же области рассуждения U, тогда отношение обладает свойством:

• рефлексивности:

если µ_R(u, u) = 1, отношение R — рефлексивное, u ÎU;

если µ_R(u, u) < 1 и > 0,5, отношение R — слаборефлексивное, u ÎU;

если µ_R(u, u) = 0, отношение R — антирефлексивное, u ÎU;

если µ_R(u, u) > 0, и < 0,5, отношение R — слабоантирефлексивное,

uÎU;

• симметричности µ_R(u, v) = µ_R(v, u), v,u ÎU;

• транзитивности µ_R(u, v) ³ min (µ_R(u, z), µ_R(z, v)) v,u,z ÎU.

Любое отношение между нечёткими множествами строится как приведённое выше декартово произведение, а вид отношения определяется способом вычисления степени принадлежности µ_А´В (u,v), причём, для одного и того же отношения разные авторы предлагают различные способы вычисления µ_А´В (u,v).

Например, если в системе искусственного интеллекта с нечётким выводом допускается организация правил с одним выходом «ЕСЛИ А, ТО В», где А антецедент и В консеквент, а также правил с двумя выходами «ЕСЛИ А, ТО В, ИНАЧЕ С». При этом антецедент может быть сложным логическим выражением, включающим операции отрицания, дизъюнкции и конъюнкции. Для вычисления нечеткого отношения R, соответствующего этим правилам на нечетких множествах

А= ò µ_А(u)/u; В= ò µ_В(v)/ v; и С= ò µ_С(v)/ v

UVV

используются следующие способы:

1) импликация Мамдани для правил с одним выходом:

R = ò min {µ_А(u), µ_В(v)} /(u, v);

U´V

2) максиминное правило с одним выходом:

R = ò max { min [µ_А(u), µ_В(v)], [1- µ_А(u)]}/(u, v);

U´V

3) максиминное правило с двумя выходами:

R = ò max { min [µ_А(u), µ_В(v)], min ([1- µ_А(u)], µ_С(v)) }/(u, v);

U´V

4) бинарное правило с одним выходом:

R = ò min { max [(1-µ_А(u)), µ_В(v)], µ_А(u)}/(u, v);

U´V

5) бинарное правило с двумя выходами:

R = ò min { max [(1-µ_А(u)), µ_В(v)], max [µ_А(u),µ_С(v)]}/(u, v);

U´V

6) импликация Лукасевича для правил с одним выходом:

R = ò min {1, [1-µ_А(u) + µ_В(v)]} /(u, v);

U´V

7) импликация Лукасевича для правил с двумя выходами:

R = ò min { min [1,(1-µ_А(u) + µ_В(v))], [µ_А(u) + µ_С(v)]}/(u, v);

U´V

8) импликация Геделя для правил с одним выходом:

R = ò [ µ_А(u)® µ_В(v)], µ_А(u)}/(u, v);

U´V g

1, если µ_А(u)£ µ_В(v);

где: µ_А(u)® µ_В(v) =

g 0, еслиµ_А(u) >µ_В(v);

9) импликация Геделя для правил с двумя выходами:

R = ò min {(µ_А(u) ®µ_В(v)),(1- [µ_А(u) ® µ_С(v)])}/(u, v);

U´V g g

Выбор способа реализации зависит от задачи и наглядности интерпретации результатов и обычно остаётся за пользователем системы.

Композиция нечетких отношений. Если знания представлены с помощью нечетких множеств и нечетких отношений, то для реализации логических выводов в нечеткой среде необходимо иметь возможность применения совокупности правил. Поскольку знания в виде правил формализуются нечеткими отношениями, нужно уметь осуществлять их композицию, которая может выполняться с помощью операции максиминной свертки.

Пусть R — нечеткое отношение из области U в область V, а S — нечеткое отношение из области V в область W тогда нечеткое отношение из области U в область W определим как свертку следующего вида:

R · S = ò max (min {µ_R(u,v), µ_S(v,w)})/(u, v);

v U ´W

Поясним применение максиминной свертки на примере.

Пусть R — нечеткое отношение между множествами U и V, которые представляют собой совокупности натуральных чисел от 1 до 4. Смысл отношения R соответствует правилу:

«ЕСЛИ u — малые числа, ТО v — большие».

U= V= {1,2,3,4};

F= 1/1+0,6/2+0,1/3- нечёткое множество малых чисел;

G=0,1/2+0,6/3+1/4- нечёткое множество больших чисел.

Определим отношение S из V в W с этой целью на V определим понятие «немалые числа», которое будет дополнением введенного ранее нечеткого множества и обозначим его F1= 0/1+0,4/2+0,9/3+1/4 УI. Введем множество W= {1,2,3,4} и определим на нем понятие «очень большие числа», которое обозначим H. К этому понятию числа 1 и 2 имеют степень принадлежности, равную 0, число З имеет значение принадлежности 0.5, и только 4 принадлежит со степенью, равной 1:

H = 0.5/З + 1/4. Отношение S между полными множествами V и W сформулируем в виде правила:

«ЕСЛИ v — немалые числа, ТО w — очень большие числа».

Построим нечеткие отношения R и, используя первое правило (импликация Мамдани):

R = ò min {µ_U(u), µ_V(v)} /(u, v);

U´V

µ_R(u_i, v_j) = min (µ_U(u_i), µ_V(v_j)) v, u ÎU. i, j=1,2,3,4

µ_U= {1; 0,6; 0,1; 0}

µ_V= {0; 0,1; 0,6; 1}

Дата добавления: 2015-06-27