Лекция 16

0,1 0,1 0,1 0,1

0,1 0,3 0,6 0,5

0,1 0,3 0,5 0,5

0,1 0,3 0,5 0,5 0,1 0,1 0,1 0,1

0,1 0,3 0,3 0,3 0,1 0,3 0,6 0,5

0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,3 0,5 0,5

0,1 0,1 0,1 0,1 0,3 0,3 0,3 0,3 0,1 0,1 0,1 0,1

0,5 0,6 0,3 0,1 0,3 0,8 0,6 0,3 0,3 0,6 0,6 0,3

0,5 0,5 0,3 0,1 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,5 0,5 0,3

0,1 0,3 0,5 0,5

0,1 0,3 0,9 0,5

0,3 0,3 0,3 0,3

0,3 0,6 0,6 0,3

0,1 0,1 0,1 0,1

0,3 0,3 0,3 0,1

0,5 0,5 0,3 0,1

0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0

0 0,1 0,1 0,1 0 0 0,5 0,9 0 0 0,1 0,1

0 0 0,5 1

0 0 0,5 0,9

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0,1 0,1 0,1

0 0,1 0,6 1

R= 0 0,1 0,6 0,6

µ_S(v_i, w_j) = min (µ_V(v_i), µ_W(w_j)) v, w ÎV,W. i, j=1,2,3,4

µ_V = {0; 0,4; 0,9; 1}

µ_W= {0; 0; 0,5; 1}

S= 0 0 0,4 0,4

Вычислим максиминную свертку нечетких отношений R · S результат которой должен соответствовать последовательному приме-нению двух правил: «ЕСЛИ u — малые числа, ТО v — большие» и «ЕСЛИ v — немалые числа, ТО w — очень большие числа».

0 0,1 0,6 1 0 0 0 0 0 0 0,5 1

R · S = 0 0,1 0,6 0,6 · 0 0 0,4 0,4 = 0 0 0,5 0,6

µ_{R · S} (v_i, w_j) = max {min [µ_R(u_i, v_j), µ_S(v_i, w_j)], min [µ_R(u_i, v_j+1), µ_S(v_i+1, w_j)], min [µ_R(u_i, v_j+2), µ_S(v_i+2, w_j)], min [µ_R(u_i, v_j+3), µ_S(v_i+3, w_j)]}

При парных сравнениях элементов i-й строки и j-го столбца из них выбирается наименьший, затем из четырех минимальных элементов выбирается максимум, который является результатом, и записывается в ячейку с координатами I,j. Результирующее нечеткое отношение показывает взаимосвязь областей U и W.

7.1.4. Формальные методы вывода решений в нечёткой логике.

Для нечеткой логики характерно то, что истинность, которая принимает значения из интервала [0,1], является размытым подмножеством множества значений истинности и определяется функцией принадлежности, т. е. для высказывания А истинность есть нечеткое множество Т(Х) с функцией принадлежности, определенной формулой:

U(А) = ò µ(х )/Х, где VÎ [0,1] — интервал истинности.

Тогда логические связи можно построить согласно принципу обоб-щения таблицы истинности лишь приближённо.

Рассмотрим традиционный дедуктивный вывод, основанный на применении правила вывода Моdus Ponendo Ponens, в среде нечетких знаний. Вспомним его формулировку: «ЕСЛИ А — истина, и импликация А ® В — истина, ТО В — истина», т. е. из факта А и правила «ЕСЛИ А, ТО В», можно вывести В. В среде нечетких знаний факт А и образец правила А* не обязательно всегда и везде совпадают, так как факты представлены нечеткими множествами, являющимися подмножествами полных знаний, а правила — нечеткими отношениями, которые есть подмножества декартовых произведений полных множеств. Поэтому если А и А* близки друг к другу, то их можно сопоставить и получить вывод в сфере их совпадения. Композиционное правило вывода в среде нечетких знаний базируется на операции максиминной свертки и имеет вид: В* = А · R*, где R* — нечеткое отношение, соответствующее импликации А ® В, А – исходный факт, а В* — приближенное заключение, выраженное нечетким множеством

µ_B (v) = å max {min [µ_A(u_i), µ_R(u_i, v_j)]}/(v_j), uÎU

i=1

Рассмотрим пример, характеризующий отношения между студентами группы и преподавателем, который ведёт в этой группе занятия и принимает зачёты и экзамены. Попытаемся посмотреть на работу преподавателя глазами студентов, а на работу студентов глазами преподавателя. Итак, с позиций преподавателя: чем больше студентов по его предмету получают хороших оценок, тем лучше группа и наоборот, чем больше студентов по его предмету получают плохих оценок, тем хуже группа. С позиций студента: чем выше оценки ставит преподаватель, тем он лучше и наоборот, чем ниже оценки ставит преподаватель, тем он хуже. Таким образом, с помощью оценок, получаемых группой на экзаменах и зачётах можно определить качество группы и качество преподавателя. Введём множество

U= {2,3,4,5} -оценок, получаемых студентами на экзаменах и зачётах по данному предмету, также введём нечёткие множества, характеризующие качество группы и качество преподавателя.

SG= 0,5/2 +0,6/3 + 0,3/4 +0,1/ 5 -слабая группа

CG=0,3/2 +0,8/3 + 0,6/4 +0,3/ 5 -средняя группа

OG=0,1/2 +0,3/3 + 0,9/4 +0,5/ 5 – отличная группа

SP= 0,5/2 +0,6/3 + 0,3/4 +0,1/ 5 – плохой и вредный преподаватель

CP=0,3/2 +0,8/3 + 0,6/4 +0,3/ 5 – средний преподаватель (так себе)

OP=0,1/2 +0,3/3 + 0,9/4 +0,5/ 5 – отличный преподаватель (любимый)

Теперь попытаемся сформулировать правила оценки труда преподавателя со стороны учебной части: «Если группа слабая, то преподаватель плохой», «Если группа средняя, то и преподаватель так себе», «Если группа сильная, то и преподаватель отличный». Кстати, мнение учебной части иногда совпадает с мнением студентов. Введённые множества и набор правил позволяют по результатам сдачи экзамена и зачёта по предмету оценить качество преподавателя с позиций деканата. Проведём необходимые расчёты:

Сформируем матрицы нечётких отношений, соответствующие заданным правилам на основе импликации Мамдани:

Отношение S соответствует правилу «Если группа слабая, то преподаватель плохой» и, следовательно, является подмножеством декартового произведения: SG´ SP.

S= 0,5 0,6 0,3 0,1

Отношение C соответствует правилу «Если группа средняя, то и преподаватель так себе» и, следовательно, является подмножеством декартового произведения: CG´ CP.

0,3 0,3 0,3 0,3

C = 0,3 0,8 0,6 0,3

Отношение O соответствует правилу «Если группа сильная, то и преподаватель отлич-ный» и следовательно является подмножеством декартового произведения: OG´ OP.

0,1 0,1 0,1 0,1

O= 0,1 0,3 0,3 0,3

Вычислим максиминную свертку нечетких отношений S · C · O, результат которой должен соответствовать последовательному применению трёх правил: «Если группа слабая, то преподаватель плохой», «Если группа средняя, то и преподаватель так себе», «Если группа сильная, то и преподаватель отличный».

S · C · O = 0,3 0,3 0,3 0,1 · 0,3 0,6 0,6 0,3 = 0,3 0,3 0,3 0,3 ·

0,1 0,3 0,9 0,5 = 0,1 0,3 0,3 0,3

Используя композиционное правило вывода, попробуем дать ответ на вопрос: что представляет собой преподаватель, если группа сдала зачёты и экзамены со следующим результатом: А = 0,1/2 +0,7/3 + 0,8/4 +0,2/ 5

В* = А · S · C · O =[0,1 0,7 0,8 0,2 ] · 0,1 0,3 0,3 0,3 = [0,1 0,3 0,6 0,5]

Такого преподавателя можно охарактеризовать с позиций деканата как «среднего преподавателя с перспективой стать хорошим».

График функции принадлежности результата нечеткого вывода показан на рис. 59

Рис.59. Функция принадлежности результата нечёткого вывода

Дата добавления: 2015-06-27