Условная вероятность

После того как становится известно определенное свидетельство, касающееся ранее неизвестных случайных переменных, составляющих рассматриваемую проблемную область, априорные вероятности становятся больше не применимыми. Вместо этого должны использоваться условные, или апостериорные вероятности. При этом используется обозначение Р(а ç b), где а и b — любые высказывания. Это обозначение читается как “вероятность а, при условии, что все, что нам известно, — это b ”. Например, следующее выражение:

Р(Студент учится плохо по предмету СИИ ç Он пропустил много занятий по предмету СИИ) = 0.8 показывает, что если наблюдается студент, который пропустил много занятий по предмету СИИ, и еще не получена какая-либо иная информация, то вероятность, что этот студент учится плохо по предмету СИИ составляет 0,8. Априорная вероятность, такая как Р(Студент учится плохо по предмету СИИ), может рассматриваться как частный случай условной вероятности, Р(Студент учится плохо по предмету СИИ ç ), где условием вероятности является отсутствие свидетельства.

Условные вероятности могут быть определены в терминах безусловных вероятностей. Таким определяющим уравнением является следующее, которое остается истинным, если Р(b) > 0:

Р(а ç b) = Р(а Ù b) (1) Р(b)

Это уравнение может быть также записано следующим образом и в таком виде называется правилом произведения: Р(аÙ b) = Р(а ç b))* Р(b)

По-видимому, правило произведения запомнить проще; оно основано на таком факте: для того чтобы а и b были истинными, необходимо, чтобы b было истинным, также необходимо, чтобы а было истинным, если дано b. Такое же утверждение можно выразить иначе: Р(аÙ b) = Р(b ç а))* Р(а)

В некоторых случаях проще формировать рассуждения в терминах априорных вероятностей конъюнкций, но чаще всего мы в качестве своего основного инструмента для вероятностного логического вывода будем использовать условные вероятности.

Кроме того, для условных распределений может использоваться обозначение P. Выражение P (Х çУ) задает значения выражения Р (Х=х _i ç У=у_j) для каждой возможной комбинации i, j.

Было бы соблазнительно, но неправильно рассматривать условные вероятности логические следствия с оценкой неопределенности. Например, высказывание Р(а ç b) =0.8 нельзя интерпретировать в том смысле, что “если b истинно, из этого следует вывод, что вероятность Р(а) равна 0,8”. Такая интерпретация была бы неправильной в двух отношениях: во-первых, Р(а) всегда обозначает априорную вероятность а, но не апостериорную вероятность, полученную с учетом некоторого свидетельства; во-вторых, само утверждение Р(а ç b) = 0,8 непосредственно относится к делу, только если b — единственное доступное свидетельство. Как только становится доступной дополнительная информация с, степень уверенности в истинности а становится равной Р(а ç b Ù с), а это значение может быть почти не связанным со значением Р(а ç b).

Например, в высказывании с может быть непосредственно указано, является ли а истинным или ложным. Если учебная часть обнаруживает, что студент учится плохо по предмету СИИ и он пропустил много занятий по предмету СИИ, то она получает дополнительное свидетельство с и составляет логический вывод (тривиальный), Р(Студент учится плохо по предмету СИИ ç Он пропустил много занятий по предмету СИИÙ Студент учится плохо по предмету СИИ) = 1

Дата добавления: 2015-06-27