Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Доказательство. ТЕМА: Однородная система линейных уравнений(СЛОУ)




Лекция 7

ТЕМА: Однородная система линейных уравнений (СЛОУ)

 

Согласно определению 4.2 запишем однородную систему линейных уравнений.

(7.1).

 

Однородная система всегда совместна, так как всегда имеется тривиальное решение.

Согласно общей теории, если , то единственным является тривиальное решение.

Если же , то решений бесконечно много, и все они, кроме одного, нетривиальные.

 

Теорема 7.1 (о нетривиальных решениях однородной системы)

Однородная линейная система с квадратной матрицей имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

 

По теореме Крамера (5.1) тогда и только тогда, когда система с квадратной матрицей имеет единственное решение (т.е. векторы – столбцы системы (7.1) – линейно зависимы). В случае если задана система линейных однородных уравнений, это решение – тривиальное (0,0,…0). Значит, нетривиальные решения имеются тогда и только тогда, когда (т.е. решений системы бесконечное множество).

 

Любое решение СЛОУ выражается в виде линейной комбинации

векторов (если ):

 

, …, . (7.2)

Покажем, что вектора – линейно независимы. Для этого составим матрицу из их координат:

.

Ниже черты расположен минор порядка , отличный от нуля столбцов матрицы линейно независимы.

Следовательно, вектора – линейно независимы, т.е. эти вектора образуют базис подпространства.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-27; Просмотров: 280; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.