Признак Д’Аламбера

Второй признак сравнения

Теорема (о втором признаке сравнения)

Если и - ряды с положительными членами и существует конечный, не равный нулю предел отношения их общих членов при п ®¥:

(1.30)

то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

При достаточно больших значениях n имеем . Поэтому в качестве ряда сравнения можно рассмотреть гармонический ряд с общим членом Тогда

.

На основании предельного признака сравнения заключаем; что в силу расходимости гармонического ряда расходится и данный ряд с общим членом .

Теорема (признак Д'Аламбера). Если для знакоположительного ряда

() (1.31)

существует предел , (1.32)

то:

при l < 1 ряд сходится,

при l > 1 ряд расходится;

при l =1 ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся, т.е. признак неприменим.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд .

.

Последующий член ряда получается из предыдущего заменой n на n +1.

= ряд сходится.

Пример 2. .

ряд расходится (заметим, что в формулировке теоремы не требуется, чтобы предел был конечным).

Пример 3. .

.

Здесь признак Даламбера не работает. Однако общий член ряда не стремится к нулю:

т.е. выполняется достаточный признак расходимости ряда. Ряд расходится.

Замечание. Признак Даламбера удобно применять, когда общий член ряда содержит факториалы или показательные функции относительно п.

Дата добавления: 2015-06-27