Действия над матрицами

Определение суммы двух матриц.

Суммой двух матриц и с одинаковым количеством m строк и столбцов называется матрица , элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матриц: . Обозначение:

= = .

Определение произведения матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы на число : .

Например. .

Определение произведения матрицы-строки на матрицу-столбец.

Произведением матрицы-строки, имеющей столбцов, на матрицу-столбец, имеющий столько же строк, называется матрица, состоящая из одного элемента, который равен сумме произведений соответствующих элементов перемножаемых матриц: ,

или

. .

Условие существования произведения двух матриц.

Произведение матриц существует только в тех случаях, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то есть . При этом матрица-произведение имеет число строк матрицы и число столбцов матрицы .

Определение перестановочных матриц.

Квадратные матрицы, произведение которых коммутативно: , называются перестановочными.

Определение произведения матриц.

Произведением матрицы , имеющей строк и столбцов, на матрицу , имеющую строк и столбцов, называется матрица , имеющая строк и столбцов, у которой элемент равен сумме произведений элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы ,

то есть .

Произведение матриц обозначается .

Замечание. Правило умножения матриц можно легко запомнить, если сформулировать его в следующем виде: элемент матрицы , стоящий на пересечении -й строки и -го столбца, есть скалярное произведение -й вектор – строки матрицы и -го вектор – столбца матрицы .

= .

Определение единичной матрицы.

Квадратная матрица, на главной диагонали которой все элементы равны единице, а все остальные элементы нули, называется единичной матрицей и обозначается буквой .

Определение обратной матрицы.

Обратной для матрицы называется такая матрица , что их произведение равно единичной матрице: .

Теорема существования обратной матрицы.

Для любой квадратной матрицы , определитель которой не равен нулю , существует единственная обратная матрица .

Определение невырожденной и вырожденной матриц.

Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной. Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.

Чтобы найти обратную для матрицу , можно действовать следующим образом:

1. Вычислить определитель матрицы .

Если , то матрица не имеет обратной .

2. Составить союзную матрицу из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы : .

3. Транспонировать союзную матрицу, то есть заменить строки на столбцы с такими же номерами: .

4. Разделить транспонированную союзную матрицу на определитель матрицы : .

Например.

1. . 2. . Вспомните, что .

3. 4. .

Проверим, правильно ли найдена обратная матрица:

= = .

Определение линейной зависимости (независимости) системы

Система строк (столбцов, векторов, решений) называется линейно зависимой, если линейная комбинация , когда не все коэффициенты линейной комбинации ─ нули, и называется линейно независимой, если линейная комбинация , когда все коэффициенты линейной комбинации ─ нули.

Дата добавления: 2015-06-27