Интегрирование иррациональностей

Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций

№ п/п	Подынтегральная функция	Подстановка	Вспомогательные преобразования	Итог
	рациональная функция относительно sin x, cos x	Универсальная		Подынтегральная функция рациональная относительно х
	Нечетная относительно сos x
	Нечетная относительно sin x
	Четная относительно сos x и sin x
	Степени четные неотрицательные		Понижение степени
			Сумма функций
	Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций

	Подынтегральная функция	Подстановка	Итог
	R – рациональная функция, целые числа	, где ─ наименьшее общее кратное знаменателей показателей:	Рациональная функция
			Рациональная функция
	Дифференциальный бином	p ─ целое число, m,n ─ дроби		Рациональная функция
			См. пункт
			Два табл-х инт-ла

При нахождении первообразной функции можно пользоваться следующим алгоритмом:

1. Попытаться применить непосредственное интегрирование;

2. Если это не удается, определить класс функции (рац. дробь, тригонометрическая, иррациональная) и применить соответствующие подстановки, а если функция смешанных классов – интегрирование по частям.

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Теорема. Если величина Q обладает на [ a,b ]

1. свойством аддитивности, а именно, если a = x₀ £ x₁ £ x₂ £…£ x_n = b,

то Q=DQ₁+DQ₂+…+DQ_n, где D Q_i – значение Q на [ x_i-1,x_i ], i=1,2,…n;

2. свойством линейности Q в малом: D Q» f(x)D x, где f (x) – интегрируемая на [a,b ]функция,

то величину Q можно найти интегралом от ее элемента dQ = f (x) dx по промежутку [ a,b ]:

Q	№	Чертеж	Система координат и пояснения	Формула	Q
S, п л ощ а д ь   п л о с к о й   ф и г у р ы   D			Д. С. К. Одна кривая границы области D не выше другой.		S, п л о щ а д ь   п л о с к о й   ф и г у р ы   D
		Д. С. К. Одна кривая границы области D не левее другой.
		Д. С. К. a £ t £ b x (a) =a, x (b) =b (y(t) ³0, " tÎ [a,b ]) Верхняя граница области задана параметрически
	β α ρ2(φ) ρ1(φ)	П. С. К.
, д л и н а   к р и в о й   L			Д. С. К.		, д л и н а   к р и в о й   L
	Д. С. К.
		Д. С. К. Линия L задана параметрически
	ρ(φ) α   β	П. С. К.

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Q	№	Чертеж	Система координат и пояснения	Формула	Q
V, о б ъ е м   т е л а   Т			Д. С. К.		V, о б ъ е м   т е л а   Т
		Д. С. К. Тело Т образовано вращением кривой у=f (х) вокруг оси 0 Х
s, п л ощ а д ь   п о в е р х н. ω			Д. С. К. Поверхность v образована вращением кривой у=f (х) вокруг оси 0 Х		s, п л о щ а д ь   п о в е р х н. w
Д. С. К. Поверхность v образована вращением кривой у=f (х (t)), заданной параметрически, вокруг оси 0 Х
S, п у т ь			Д. С. К. V – скорость прямолинейного движения тела на промежутке времени [ t1,t2 ]		S, п у т ь
А, р а б о т а			Д. С. К. Сила F направлена параллельно оси 0 Х на промежутке [ a,b ]		А, р а б о т а
Р,д а в л			Д. С. К. m – плотность жидкости, давящей на пластину D		Р, д а в л.
m,м а с с а			Д. С. К. m – линейная плотность кривой L		m,м а с с а

Статические моменты относительно координатных осей S_{x ,} S_{y ,,} моменты инерции М_х,, М_у, координаты центра тяжести х_с, у_с плоской кривой

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ФНП)

Определениечастной производной. Если в точке М (х, у) существует предел отношения частного приращения ФНП z = f (x,y) по одному из ее аргументов к приращению этого аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, то этот предел называется частной производной ФНП по этому аргументу в точке М (х, у): ; . Правило.Чтобы найти частную производную ФНП по одному из ее аргументов, надо все остальные аргументы ФНП считать постоянными и применять правила дифференцирования и таблицу производных функции одного аргумента, по которому берется частная производная	Градиент функции : Градиент функции в точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.	Экстремум функции двух переменных 1. Необходимое условие существования экстремума. Если функция f (x,y) имеет в точке М0 (х0,у0) экстремум и имеет в точке М0 частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, т. е. . 2. Достаточные условия существования экстремума. Пусть . Тогда а) если D> 0, то в точке М0 функция имеет экстремум, причем при – локальный максимум, при – локальный минимум; б) если D<0, то в точке М0 экстремума нет; в) если D=0, то требуются дополнительные исследования.
Производная по направлению Вектор направления ; Орт направления: ; Производная по направлению равна скалярному произведению градиента на орт направления:
Производные сложных функций ; u, v – промежуточные аргументы, x,.y – основные аргументы.	Уравнение касательной плоскостик поверхности F (x,y,z) =0 в точке М0 (х0,у0,z0) Скалярное произведение , или	Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области 1. Найти точки, принадлежащие области, в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют. Вычислить значения функции в этих точках. 2. Заменить одну из независимых переменных из уравнения границы области и найти наибольшее и наименьшее значения получившейся функции одного аргумента на отрезке изменения этого аргумента: вычислить значения функции в критических точках первого порядка и на концах отрезка. 3. Из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
Производные неявно заданных функций F (x,y,z) = 0, Û z = f (x,y). .	Уравнение нормалик поверхности F (x,y,z) =0 в точке М0 (х0,у0,z0)   векторное произведение , или
Полный дифференциал ФНП . Полный дифференциал ФНП равен сумме ее частных дифференциалов: .

Дата добавления: 2015-06-27