Теория вероятностей и математическая статистика

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Некоторые разложения в степенные ряды

оригинал:	изображение оригинала:

Соединения, определения вероятности
		Названия, обозначения	Пояснения	Примеры
С О Е Д И Н Е Н И Я		Перестановки из n элементов Pn = n! = 1∙2∙…∙(n -1)∙ n	Соединения отличаются только порядком элементов.	Число способов поменять местами 10 студентов, стоящих в шеренгу 10! = 1∙2∙…∙10 = 3628800
	Перестановки с повторениями α+β+γ=n	Соединения из n одинаковых элементов, распределенных по подгруппам из α, β, γ элементов, отличающиеся порядком элементов.	Число способов разбить группу из 12 студентов на подгруппы по 3, 4, 5 человек
	Размещения из n элементов по m (n ≤ m)	Соединения отличаются хотя бы одним элементом или порядком элементов.	Число способов распределить 3 различных обязанности между 10 студентами (по одной обязанности на одного студента)
	Размещения из n элементов по m (n ≤ m) с повторениями	Соединения содержат любой элемент из m сколько угодно раз от 0 до m.	Число способов распределить 3 различные обязанности между 10 студентами, если один студент может выполнять любое число из них
	Сочетания из n элементов по m (m ≤ n)	Соединения отличаются хотя бы одним элементом (порядок элементов не учитывается)	Число способов распределить 3 студентов из 10 на три одинаковые должности
	Сочетания из n элементов по m с повторениями (m может быть больше, чем n)	Соединения состоят не только из m различных элементов, но и из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.	Число способов выбрать 6 пирожных в кондитерской, если есть 4 разных сорта пирожных
В Е Р О Я Т Н О С Т Ь		Статистическийподход	В серии из nk испытаний событие А появилось mk раз; частота обладает свойством устойчивости.
	Классическое определение	Пространство элементарных событий Ω дискретно и состоит из конечного числа n элементарных равновозможных несовместных событий ω i, называемых случаями. Вероятность P (A) наступления события А равна числу случаев m, благоприятствующих наступлению события А, деленному на число всех возможных исходов n.
	Геометрическоеопределение	Пространством элементарных событий является некоторая область, мера которой mes G, событию А соответствует область, мера которой .
	Аксиоматическое определение	Свойства операций над событиями

Основные теоремы теории вероятностей
Ω   А AB B	У м н о ж е н и я	Зависимыесобытия – наступление одного из них изменяет вероятность наступления другого
Независимыесобытия – наступление одного из них не изменяет вероятность наступления любого другого и всех возможных их пересечений
С л о ж е и я	Совместныесобытия содержат общие точки пространства элементарных событий Ω
А Ω B	Несовместныесобытия не содержат общих точек пространства элементарных событий Ω
Гипотезы Н i образуют полную группу событий:	Формула полной вероятности
Формула Байеса
Схема испытаний Бернулли   1 – событие А наступило; 0– событие А не наступило; последовательность содержит m единиц и (n-m) нулей. P (A)= p,	Формула Бернулли	Формула Пуассона
Вероятность того, что событие А наступит m раз в серии из n испытаний	интенсивность потока λ
Наивероятнейшее число m 0 наступления события А
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Законы распределения случайных величин ξ(ω)(ω – случайные события)

Дискретныеслучайные величины ξ (ω): Ω → R

Непрерывные случайные величины ξ (ω): Ω → R

Свойства

Функция распределения F (x)

Функция распределения F (x)

 

Квантиль порядка p: η _p

Квантиль порядка p: η _p

η _p существуют для любых случайных величин, обладают свойством устойчивости, легко могут быть измерены.

Медиана – квантиль порядка 0.5

Медиана– квантиль порядка 0.5

Ряд распределения

Плотность распределения ρ (x)

ξ	х 1	х 2	…	x n	…
Р	p 1	p 2	…	p n	…

 

Мода ξ

Мода ξ

Унимодальные распределения имеют единственный максимум, полимодальные – два и более.

mod ξ = x (max P)

mod ξ = x (max ρ (x))

Начальные моменты порядка к

Начальные моменты порядка к

Математическое ожидание ξ: М (ξ)

Математическое ожидание ξ: М (ξ)

Центральные моменты порядка к: μ _к

Центральные моменты порядка к: μ _к

 

Дисперсия ξ: D (ξ)

Дисперсия ξ: D (ξ)

Характеристическая функция g _х(t)

Характеристическая функция g _х(t)

Кумулянтная функция φ (t)

Дата добавления: 2015-06-27