Основные понятия. Логика высказываний позволяет формализовать лишь небольшую часть множества рассуждений

ЗАНЯТИЕ 4. ИСЧИСЛЕНИЕ ПРЕДИКАТОВ

Логика высказываний позволяет формализовать лишь небольшую часть множества рассуждений. Высказывания, описывающие некоторые свойства объектов, или отношения между объектами выходят за рамки логики высказываний. В исчислении высказываний анализируются высказывания при одной фиксированной ситуации. В исчислении предикатов исследуется зависимость высказываний от ситуации. При этом фиксируется не одна ситуация, а множество допустимых ситуаций.

Логика предикатов расчленяет элементарное высказывание на субъект (субъект чаще всего выступает в роли подлежащего, хотя может быть и дополнением) и предикат (предикат выступает в роли сказуемого, хотя может быть и определением).

Субъект – это то, о чем утверждается в высказывании.

Предикат - это то, что утверждается о субъекте. Например, 14 - чётное число; 14 - субъект; чётное число - предикат, то есть, 14 обладает свойством быть четным числом. Если в рассмотренном высказывании заменить 14 на переменную из множества натуральных чисел, то получаем высказывательную форму « - чётное число». Высказывательная форма определяет функцию одной переменной , определённую на множестве натуральных чисел и принимающую значения из множества .

Одноместным предикатом называется произвольная функция переменной , определённая на множестве и принимающая значение из множества . Множество, на котором определён предикат , называется областью определения предиката. Множество

61 всех элементов , принадлежащих , при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката . Множество истинности предиката задаётся в виде:

Например, множество истинности для предиката - “ ” задаётся так: , где – множество целых чисел. Множеством истинности для предиката – “Диагонали параллелограмма перпендикулярны” является множество всех ромбов. Областью определения этого предиката является множество всех параллелограммов.

Предикат, определенный на множестве , называется тождественно истинным, если , и тождественно ложным, если .

Двуместным предикатом называется функция двух переменных и , определенная на множестве ( – области определения переменных и соответственно) и принимающая значения из множества . Например, предикат равенства ” ” определен на множестве ( – множество действительных чисел). Примерами бинарных предикатов являются: , , .

Примерами трехместных предикатов являются: ,

Предикаты, так же как и высказывания, принимают только два значения , поэтому к ним применимы все

операции исчисления высказываний: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация, эквиваленция и для них справедливы все эквивалентности исчисления высказываний.

Следует учесть, что операции дизъюнкции, конъюнкции и импликации вводятся для предикатов, определенных на одном и том же множестве . Результатом этих операций всегда является некоторый предикат, определенный на том же множестве .

Рассмотрим применение операций логики высказываний к предикатам на примерах одноместных предикатов.

Пусть на множестве заданы два предиката и .

Конъюнкцией двух предикатов и называется новый предикат , который принимает значение “истина”, при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “истина”, и принимает значение “ложь” во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката является пересечение областей истинности предикатов и , то есть множество .

Например, для предикатов - “ ” и - “ ” конъюнкцией будет предикат “ ”, то есть предикат “ ”.

Дизъюнкцией двух предикатов и называется новый предикат , который принимает значение “ложь”, при тех и только тех значениях , при которых каждый из предикатов принимает значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Областью истинности предиката является объединение областей истинности предикатов и , то есть множество .

Отрицанием предиката называется новый предикат , который принимает значение “истина” при всех значениях , при которых предикат принимает значение “ложь”, и принимает значение “ложь” при тех значениях , при которых предикат принимает значение “истина”.

Областью истинности предиката является относительное дополнение множества до множества , то есть, множество тех элементов , которые не вошли во множество .

Импликацией предикатов и называется новый предикат , который принимает значение “ложь”, при тех и только тех значениях , при которых одновременно принимает значение “истина”, а принимает значение “ложь”, и принимает значение “истина” во всех остальных случаях.

Так как при каждом фиксированном импликация = , то область истинности импликации получается объединением областей истинности двух предикатов и .

Дата добавления: 2015-06-27