ВВЕДЕНИЕ. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные. Невозможно учесть влияние на результат всех причин, поскольку число их очень велико и законы их действий неизвестны. Поэтому теория вероятности не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, - она просто не в силах это сделать.

По – иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т. е. если речь идет о массовых однородных случайных событий. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятности. Итак, предметом теории вероятности является изучение вероятностных закономерностей однородных массовых случайных событий. Знание закономерностей которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

Методы теории вероятности широко применяются в различных отраслях естествознания и техники. В последние годы методы теории вероятности все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

Краткая историческая справка.

Первые работы, в ко­торых зарождались основные понятия теории вероятно­стей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и дру­гие в XVI–XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654–1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснова­нием накопленных ранее фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.

Новый, наиболее плодотворный период связан с име­нами П. Л. Чебышева (1821–1894) и его учеников А. А.Маркова (1856–1922) и А. М.Ляпунова (1857–1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С. Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых вет­вей теории вероятностей также принадлежит советским математикам.

Вариант № 38

ГЛАВА I

Обработка данных наблюдений и проверка гипотез

Задание: В результате независимых измерений получены n значений ошибки точности настройки РПУ на заданную частоту: х1, х2,…хn. Произвести полный статистический анализ данных выборки и сделать соответствующие выводы.

Значения выборки

0,637	1,121	0,409	1,082	-0,263
0,267	1,627	0,061	-1,114	-0,529
-0,142	0,658	-0,964	-0,586	0,799
-0,394	-0,036	0,507	0,882	-0,856
-0,118	0,678	-1,414	0,679	-0,276
0,247	1,469	-0,847	-0,032	0,379
-0,973	0,522	-1,191	0,091	1,468
0,486	1,642	0,185	0,838	-1,805
0,820	-0,872	-0,090	-0,304	-0,266
-0,426	-0,358	-0,866	-2,716	-0,592
0,243	1,594	-1,116	0,823	-1,473
-0,822	0,109	-0,156	-1,248	-1,266
0,238	0,676	-1,387	0,346	0,702
-0,220	-1,084	-0,406	-0,537	1,071
-1,566	0,318	-0,454	-0,402	-0.383
0,932	0,367	0,575	1,214	0.167
-0,833	-0,992	-0,266	-1,214	-0,348
-0,039	0,529	1,246	1,353	0,192
0,275	0,278	0,557	1,511	-1,447
-0,163	1,392	0,004	-0,184	0,495

min=

max=

Статическое распределение выборки

1. По данным выборки найти:

а) размах варьирования: R = x_max – x_min,

R= 1,642-(-2.716)= 4,4

б) количество интервалов (разрядов):

к=7

в) длину разряда:

h= 0,6

Интервал (-2,7; 1,6) расширим до интервала (-3; 1,9). Сдвиг в каждую стороны при этом не превысит:

Для нового интервала изменения признака (-3;1,9) приk= 7 длина разряда получается равной

2. Произведем группировку опытных данных и построим интервальный вариационный ряд. Расчет оформим в виде таблицы 1.

Таблица №1

Границы интервала	[-3;-2,3)	[-2,3;-1,6)	[-1,6;-0,9)	[-0,9;-0,2)	[-0,2;0,5)	[0,5;1,2)	[1,2;1,9)
Частот
Относительные частоты
Накопленные частоты ∑

-

n -

Расчет сводных характеристик выборки

1. Вычислим моду и медиану выборочного распределения.

2. По интервальному вариационному ряду, полученному в §1 составить дискретный вариационный ряд в виде таблицы 2, в котором в качестве вариант берём середины разрядов

Таблица № 2

Вычислим выборочную среднюю (математическое ожидание) и выборочную дисперсию :

3. Для расчета сводных характеристик выборки по методу произведений составим таблицу 3.

Таблица № 3

h=

	∑		∑	∑	∑	∑			∑

Контроль расчетов производим по формуле:

4. Вычислим начальные условные эмпирические моменты:

5. Используя начальные моменты , вычислим центральные моменты:

6. Найдем выборочную среднюю (выборочное математическое ожидание):

где, С = 0,09

7. Вычислим выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию:

8. Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение (с.к.о.) и исправленное выборочное с.к.о.:

9. Определим, чему равны выборочная асимметрия и выборочный эксцесс:

Расчет интервальных оценок генеральных параметров

Построим доверительные интервалы для оценки генерального математического ожидания m_x и генерального с.к.о. σ_х. Для этого по заданной доверительной вероятности (надежности) γ из таблицы функции Лапласа найдем значение аргумента t_γ этой функции, для которого Ф(t_γ) = γ.

Используя найденное t_γ, рассчитаем границы доверительного интервала для

Интервальную оценку генерального с. к. о. определим по одной из формул:

В данном варианте q<1 то <σx<

Проверка гипотезы о нормальном распределении
генеральной совокупности по критерию Пирсона

Для того, чтобы при заданном уровне значимости α = 1 – γ проверить гипотезу о нормальном распределении обследуемого признака X генеральной совокупности, заполним таблицу 5.

Таблица №5

							∑	∑

Контроль вычислений производим по формуле:

Обозначим сумму элементов восьмого столбца _, и для заданного уровня значимости α числа свободы р = k – 3 находим критическую

точку (α; р)

ВЫВОД: так как , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно).

Построение гистограммы выборки и теоретической
нормальной кривой

1. Для построения гистограммы в выбранной системе координат на оси абсцисс откладываем разряды, а на каждом из разрядов как на основании строим прямоугольник с высотой , составляя таблицу 6.

Таблица №6

Разряды

На этом же графике строим гипотетическую (предположительную) теоретическую нормальную кривую. Для этого берем середины разрядов х _i и выравнивающие частоты n_i из таблицы 5. Эти данные заносим в таблицу 7.

Таблица №7

наносим точки с координатами и соединяем их плавной линией, получая искомую кривую.

ВЫВОД: В данной части курсовой работы проверена гипотеза Пирсона, ее нет оснований отвергнуть, другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо (случайно).

Разряды	-1.6	-1.1	-0.6	-0.1	0.4	0.9	1.4	1.9	2.4	2.9
	0,12	0,18	0,26	0,38	0,32	0,40	0,26	0,04	0,02	0,06

В последней строке результаты вычислений округлим до 0,01.

На этом же графике строим гипотетическую (предположительную) теоретическую нормальную кривую. Для этого берем середины разрядов х _i и выравнивающие частоты n_i из таблицы 5. Эти данные заносим в таблицу 7.

Таблица №7

xi	-1.6	-1.1	-0.6	-0.1	0.4	0.9	1.4	1.9	2.4	2.9
	0,12	0,23	0,35	0,41	0,38	0,27	0,15	0,07	0,024	0,006

наносим точки с координатами и соединяем их плавной линией, получая искомую кривую.

ГЛАВА II

Дата добавления: 2015-06-27