КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Функционалы, зависящие от высших порядков
Условия закрепления y(х)
y(x1) = y1 y(n-1)(x1) = y1(n-1) y(x2) = y2 y(n-1)(x2) = y2(n-1) y(n-2)(x1) = y1(n-2) y(n-2)(x2) = y2(n-2)
=
- вещественный множитель Находим то, что содержит , дифференцируем по промежуточному аргументу, а затем по основному.
=
Лекция №8
Функционалы, зависящие от нескольких аргументов (векторного аргумента)
выборочное производство: y1,y2,...,yn должны производные много (n штук) но так нельзя! Функционал зависит от одного аргумента
Вводим только 1 значение :
Функционал, зависящий от одного векторного аргумента
- вариация
Условие экстремума функционала:
Какое бы приращение аргумента мы ни взяли
Частный случай тоже
Исчезнет вся сумма и останется
Выбраны y зависит только от х. Продифференцируем по частям
Воспользуемся основной леммой вариационного исчисления.
2)
n)
......................... cистема из n уравнений Эйлера
В каждое уравнение входят абсолютно все аргументы y1,...,yn (так как F(y1,...,yn)) решаем систему совместно
Пример 1:
Пример 2:
Не зависит от y2
Замечание: Что, если есть еще и старшие производные переменного аргумента
С помощью переобозначений приведем к функциональной зависимости от первой производной. Но можно записать уравнение Эйлера-Пуассона для каждой выбранной функции.
Найти кривую, которая имеет min расстояние между окружностями
Разные точки влияют на константу интегрирования
y y2
x1 x2 x
- вариация функционала
- интегрируем по частям
Кривая, удовлетворяющая уравнению Эйлера – экстремальная. Найдено решение задачи (на графике), значит мы знаем y1, y2 мы можем найти кривую из уравнения Эйлера. В задачах с подвижными границами экстремальные оценки могут быть достигнуты только на экстремалях из
а это уравнение Эйлера
Там, где экстремаль есть
Если линейная комбинация при , то с2=0 или с1=0 дополнительные условия
В точке вхождения за границу и выхождения за границу
Надо найти прямую, имеющую min длину y = kx + b
при (то есть все у являются экстремалями) отсюда следует что k = 0
В любом случае мы его не контролируем оптимальные линии должны идти горизонтально, так как k = 0
y
x1 x2 x
Оценивая 2 точки, уравнение Эйлера ищет кратчайшее расстояние между ними
0
Очевидно, что min функционала при y2 – y1=0
Ответ тот же самый, но это не метод вариацинного исчисления.
Общий случай: Когда задана граница, по которой движется траектория
Условие вхождения в экстремальную границу – экстремаль должна войти под углом
Условия трансверсальности. Другой тип задач:
Запретная область
Оптимальная кривая заходит в запретную область! Не подходит.
оптимальная траектория идет по границе Куски, которые не связаны с запретной областью, должны быть min (то есть экстремальны)
Лекция №9
Метод неопределенных множителей Лагранжа в задачах вариационного исчисления.
y = f(x1,x2) y(x1,x2) = 0 – ограничение
имеет один знак (не имеет дифференциала)
Главное условие экстремума Приращение можно заменить дифференциалом dy имеет один знак независимо от
dy = 0
В вариационном исчислении – вариация функционала
Если мы не можем исключить какой-либо аргумент – мы в тупике
с1dx1 + c2dx2 = 0 при c1, c2 = 0 одновременно
Дифференциалы могут быть связаны:
x1 + x2 =1 dx1 + dx2 = 0 dx1 = -dx2 с1dx1 + c2dx2 =0 c1(dx1-dx1) = 0 =0
Если между аргументами есть связь, то и вариации связаны между собой
y = f(x1,...,xn) y1(x1,...,xn) = 0 ............... yk(x1,...,xn) = 0
dy = 0
dx2
dx2 = -dx1
dx1
в точке экстремума (2)
Т.к. дифференциалы зависят, то коэффициенты нельзя приравнять к нулю.
(1) в любой точке
j = 1,...,k
n переменных и k уравнений определяют связь дифференциалов.
c11dx1 +................. + c1ndxn = 0 ck1dx1 +................. + ckndxn = 0
c11dx1 + c12dx2 +... + c1kdxk = - c1k+1dxk+1 – c1ndxn ck1dx1 + ck2dx2 +... + ckkdxk = - ckk+1dxk+1 - ckndxn
свободные переменные
Теперь знаем связь между дифференциалами. Коэффициенты при свободных дифференциалах обнулить.
Другой способ: Каждое из соотношений (1) умножим на и сложим с (2) – это для точек оптимума, так как (2) – соотношение только для точек оптимума.
Делим дифференциалы на свободные и несвободные. При несвободных дифференциалах подбираются такие , чтобы коэффициенты при них обнулились.
для свободных дифференциалов
Это можно записать и для свободных. Для общего 0 коэффициенты при свободных тоже должны быть = 0.
i = 1,...,n для всех
n уравнений
Неизвестные:
x1,...,xn (n+k) неизвестных
И еще +k уравнений-ограничений В результате получается (n+k) уравнений и (n+k) неизвестных.
- наши n уравнений
- наши k ограничений
В вариационном исчислении все то же самое.
Постановка задачи:
j = 1,...,k
Голономная (геометрическая) связь.
y1(x) + y2(x) = 0
Вариации аргумента связанные. Вариации бывают: - зависимые - независимые
зависит от х.
То же самое дифференциал ~ вариация
F* содержит (n+k) аргументов.
Имеется безусловный экстремум Y* и найденные y1(x),...,yn(x) – есть экстремали. Для каждой функции напишем уравнение Эйлера.
Система дифференциальных уравнений. Уравнения между собой связаны, то есть неавтономные. (n+k) уравнений Общий порядок должен быть 2*(n+k)
Пример
Задание условий закрепления
х(0) = х0 2 функции х(Т) = хТ
Оказывается, не все уравнения Эйлера – 2-го порядка
Уравнение Эйлера:
Пример: Общий порядок – первый. x1 + x2 = 0
Уравнение Эйлера:
Порядок закрепления – 2. Два начальных условия сможем определить наши неизвестные
Уравнение Эйлера: = 0
Уравнение Эйлера: = 0
Продифференцируем по t второе уравнение.
Найдем х, подставим в исходное и найдем u. Мы вводим функционал, чтобы учесть ограниченность u.
Лекция №10
Дата добавления: 2015-06-27; Просмотров: 855; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |