Примеры

1. Механическая система состоит из груза, трубы и блока, связанных гибкой нерастяжимой нитью. Груз опускается, труба катится без скольжения. Определить скорость и ускорение груза, в тот момент, когда он пройдет расстояние Н. Движение начинается из состояния покоя. Дано: М – масса груза, m и R – масса и радиус трубы, - момент сопротивления (постоянный). Массой блока и нити пренебречь.

Рис. 30

Воспользуемся теоремой

.

По условию задачи . Тела, входящие в систему, абсолютно твердые, а нить гибкая и нерастяжимая. Следовательно, .

Внешние силы: и реакции работы не совершают. Остается раскрыть равенство

.

Кинетическая энергия

.

Здесь , , .

Окончательно

. (1)

Работа силы равна QH. Работа пары сил равна произведению ее момента на угол поворота трубы - .

Полная работа

. (2)

Приравнивая (1) и (2), получаем равенство

. (3)

Отсюда

.

Чтобы определить ускорение, продифференцируем по времени обе части равенства (3). Получим:

.

Отсюда, замечая, что , находим

.

2. Два стержня равной длины 2 и массы m сочлены в точке С и устанавливаются на гладкой горизонтальной плоскости. Расстояние шарнира С до пола равно Н. Центры масс стержня относительно оси, проходящей через центр масс, равен ρ. В некоторый момент времени система опускается и начинает падать. Определить скорость шарнира С в момент удара его о пол.

Рис. 31

Воспользуемся теоремой

.

Движение начинается из состояния покоя, а потому . Стержни абсолютно твердые, трение в шарнире отсутствует. Следовательно, .

Остается раскрыть равенство:

.

Внешними силами, действующими на систему, являются силы тяжести и реакции плоскости. Сумма их проекций на горизонтальное направление равна нулю. Это свидетельствует о том, что центр масс системы по горизонтали не перемещается и «падает» по прямой СД. В момент касания плоскости каждый стержень вращается вокруг своего свободного конца. Кинетическая энергия системы в этом положении равна

,

где - момент инерции стержня относительно конца, - скорость шарнира С, - мгновенная угловая скорость стержня.

Работу совершают лишь силы тяжести

.

Приравнивая кинетическую энергию работе сил, получим:

.

Отсюда

.

Дата добавления: 2015-06-27