Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Построение байесовских решающих правил




ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШАЮЩИХ ПРАВИЛ

Если оптимальные (минимаксные) решающие правила в статистической игре существуют, то они принадлежат классу байесовских решающих правил. Кроме того, байесовские стратегии находят непосредственное применение во многих статистических задачах, содержащих априорную вероятностную информацию о неизвестном состоянии природы.

Нерандомизированные байесовские решающие правила составляют существенно полный подкласс в классе всех байесовских правил относительно данного априорного распределения .

Чтобы построить нерандомизированное байесовское решающее правило относительно данного априорного распределения , то есть обеспечить , следует при каждом наблюдении случайной величины (случайного вектора) выбирать решение , минимизирующего апостериорный условный риск

Здесь функция апостериорного распределения характеризуется плотностью или функцией вероятностей , вычисляемой по формуле Байеса

, ,

где , , - это плотности или функции вероятностей априорного распределения состояний природы , условного распределения наблюдаемой случайной величины при данном и маргинального (безусловного) распределения , соответственно.

Заметим, что байесовский риск решающего правила и апостериорный условный риск связаны очевидным соотношением

,

где - функция безусловного распределения для .

Минимальный байесовский риск является вогнутой функцией от .

Пример 1. Пусть в исходной антагонистической игре , , а функция потерь описывается матрицей

Θ
 
 

 

:

 

 

Распределения вероятностей наблюдаемой случайной величины характеризуются плотностями или функциями вероятностей . Соответствующая статистическая игра – это задача проверки простой гипотезы против простой гипотезы при стоимости ошибок , . Найдём байесовское решающее правило относительно априорного распределения , заданного априорной вероятностью состояния природы .

По формуле Байеса

,

то есть

, .

Апостериорный условный риск в этой задаче равен

,

или

, .

При любом следует принимать , если и в случае обратного неравенства. Таким образом, байесовское решающее правило относительно при любом заданном значении имеет вид

Функцию называют отношением правдоподобия.

Пример 2. Пусть и необходимо оценить неизвестный параметр семейства распределений , объявляя решение при квадратичной функции потерь , после наблюдения случайной величины . Найдём в такой задаче статистического оценивания байесовское решающее правило относительно априорного распределения , характеризуемого плотностью .

При любом значении имеем , где .

В нашем примере . Минимизируем эту функцию, дифференцируя по и приравнивая производную нулю, что даёт

.

Из проделанных выкладок следует, что

,

а минимальный байесовский риск равен

,

где математическое ожидание берётся по безусловному распределению случайной величины .




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-27; Просмотров: 1274; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.